دستگاه معادلات خطی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
فارسیالعربية

مجموعه‌های مشتمل بر بیش از یک معادله خطّی را دستگاه معادلات خطّی می‌گویند. برای مثال:

دستگاهیست با ۳ معادله و ۳ مجهول (x و y و z).

سامانه‌های اینگونه را در شاخه‌ای وسیع و پرکاربرد از ریاضیّات موسوم به جبر خطّی مورد تحلیل و بررسی قرار می‌دهند.

دستگاه معادله‌های خطی شامل مجموعه ای از دو یا چند معادله خطی می‌باشد.

منظور از حل دستگاه، به دست آوردن مقادیری برای مجهولات است که به ازای آن مقادیر این معادله‌ها بر قرار باشند.

مشخصات:

  • نام:دستگاه معادله‌های خطی
  • این دستگاه شامل دو معادلهٔ خطی می‌باشد.
  • این دستگاه شامل دو مجهول x و y است.
  • به ازای x=-۶ و y=۳ هر دو معادله بر قرارند.
  • جواب دستگاه در واقع طول و عرض نقطهٔ تقاطع این دو خط می‌باشد.

دستگاه دو معادلهٔ دو مجهولی:

یک دستگاه دو مجهولی درجه اول به شکل زیر است:

این دستگاه شامل دو معادله و دو مجهول می‌باشد. مجهول‌های دستگاه در مورد هر موضوعی می‌توانند باشند. برای حل دستگاه روشهایی وجود دارد که دو روش حذفی و قیاسی در ادامه توضیح داده شده‌اند.

روش حذفی:

در این روش هر یک از دو معادله مفروض را در عددی ضرب می‌کنیم که ضریب‌های یکی از مجهول‌ها در دو معادله قرینه شود، آنگاه طرفین دو معادله را نظیر به نظیر جمع می‌کنیم و ساده می‌کنیم، پس از پیدا شدن یکی از مجهول‌ها آن را در یکی از دو معادله قرار می‌دهیم و مجهول دیگر را بدست می‌آوریم.

روش قیاسی:

در این روش از هر دو معادله x یا y را پیدا نموده و مساوی هم قرار می‌دهیم.

منابع[ویرایش]

  • Strang, Gilbert (۱۹ ژوئیه ۲۰۰۵), Linear Algebra and Its Applications (4th ed.), Brooks Cole, ISBN: 978-0-03-010567-8

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع بیشتر[ویرایش]

  • ویدیوهای آموزشی دستگاه معادلات خطی (جبر خطی پیش دانشگاهی) به زبان فارسی: [۱]
نظام خطي ذو ثلاث متغيرات، تحدد كل معادلة فيه مستوى. نقطة التقاطع هي حل هذا النظام.

في الرياضيات، نظام المعادلات الخطية (بالإنجليزية: System of linear equations) هي مجموعة من المعادلات الخطية, تضم نفس المجموعة من المتغيرات. على سبيل المثال:

هو نظام معادلات خطية يضم ثلاث معادلات خطية تحوي ثلاث متغيرات هي x و y و z. حل نظام خطي ما تتمثل في إعطاء قيمة عددية لكل متغيراته حيث تتحقق جميع معادلاته في آن واحد. حل المثال السابق يعطي كما يلي:

بما أن المعادلات الثلاثة تبقى صحيحة عند هذه القيم.

انظر إلى جبر خطي عددي وإلى نظام غير خطي وإلى تقريب (رياضيات) وإلى استخطاط وإلى نموذج رياضي.

%40+8700=%100

الشكل العام[عدل]

يمكن كتابة نظام المعادلات الخطية كمعادلات متجهة أو كمعادلات مصفوفة.

1. معادلات متجهة:

2. معادلات مصفوفة:

هناك عدة طرق احل جمل المعادلات الخطية وهي

[1]

مجموعة الحلول[عدل]

مجموعة حلول المعادلتين xy = −1 و 3x + y = 9 هي النقطة (2, 3).

قراءة هندسية[عدل]

الشكل العام[عدل]

مجموعة حلول معادلتين تحتويان على ثلاث متغيرات عادة ما تكون مستقيما.

خصائص[عدل]

الاستقلالية[عدل]

انظر إلى استقلال خطي.

المعادلات x − 2y = −1, 3x + 5y = 8, و 4x + 3y = 7 are linearly dependent.

التناسق[عدل]

المعادلتان 3x + 2y = 6 و 3x + 2y = 12 غير متناسقتين.

انظر إلى تناقض (منطق)

على سبيل المثال، المعادلتان

و غير متناسقتين.

التكافؤ[عدل]

نقول عن نظام خطي انه متكافئ إذا وجدت قيمة عددية وحيدة لكل متغير من متغيراته

على سبيل المثال، المعادلتان

و متكافئتان لأن .

حلحلة النظام الخطي[عدل]

هناك عدة خوارزميات تمكن من حلحلة نظام من المعادلات الخطية.

اقصاء المتغيرات[عدل]

تبسيط الصفوف[عدل]

انظر إلى مصفوفة ممتدة.

قاعدة كرامر[عدل]

قاعدة كرامر هي صيغة تمكن من حلحلة نظام من المعادلات الخطية، حيث يساوي كل متغير نسبة بين محددتين اثنتين. على سبيل المثال، حلحلة النظام التالي:

تعطى بما يلي:

طرق أخرى[عدل]

طريقة الجمع[عدل]

على سبيل المثال، حلحلة النظام التالي:

نضرب المعادلة الأولى في 1- و نجمعها مع الثانية فنجد:

أي أن:

الآن نعوض y بـ1 فنجد:

طريقة التعويض[عدل]

على سبيل المثال، حلحلة النظام التالي:

نأخذ فنجد :

أي :

نعوض قيمة y بـ 1 في المعادلة (1) فنجد :

أي أن :

هكذا :

و

الأنظمة المتجانسة[عدل]

انظر أيضا إلى معادلة تفاضلية متجانسة.

يقال عن نظام من المعادلات الخطية أنه متجانس إذا كانت جميع الحدود التي لا ترتبط بمتغيرات تساوي الصفر:

مجموعة الحلول[عدل]

علاقتها بالأنظمة غير المتجانسة

انظر أيضا[عدل]

مراجع[عدل]

وصلات خارجية[عدل]