توزیع احتمال شرطی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

توزیع احتمال شرطی اگر توزیع مشترک(توزیع احتمال توام) دو متغیر تصادفی X و Y را داشته باشیم،توزیع احتمال Y به شرط X ،توزیع احتمال Y است وقتی X دارای مقدار مشخصی باشد.اگر توزیع احتمال شرطی Y به شرط X یک توزیع پیوسته باشد،آنگاه تابع چگالی احتمال با نام تابع چگالی شرطی خوانده می شود.

امید ریاضی و واریانس در توزیع شرطی به ترتیب امید ریاضی شرطی وواریانس شرطی نام دارند.

برای متغیر های تصادفی گسسته توزیع احتمال شرطی به صورت زیر است:

p_Y(y\mid X = x)=P(Y = y \mid X = x) = \frac{P(X=x\ \cap Y=y)}{P(X=x)}.

واضح است که P(X=x)>۰.

رابطه زیر به دست آوردن توزیع X به شرط Y را از روی توزیع Y به شرط X نشان می دهد:

P(Y=y \mid X=x) P(X=x) = P(X=x\ \cap Y=y) = P(X=x \mid Y=y)P(Y=y).

توزیع های پیوسته[ویرایش]

به طور مشابه برای متغیرهای تصادفی پیوسته تابع چگالی احتمال Y به شرط X به صورت زیر نوشته می شود:

f_Y(y \mid X=x) = \frac{f_{X, Y}(x, y)}{f_X(x)},

که در اینجا (fX،Y(x،y تابع چگالی مشترک X و Y را نشان می دهد و (fX(x تابع چگالی X را.

در اینجا نیز واضح است که ۰ <(fX(x

رابطه تابع چگالی شرطی X به شرط Y به صورت زیر خواهد بود:

f_Y(y \mid X=x)f_X(x) = f_{X,Y}(x, y) = f_X(x \mid Y=y)f_Y(y).

رابطه با استقلال[ویرایش]

دو متغیر تصادفی X و Y مستقلند اگر و فقط اگر توزیع احتمال شرطی Y به شرط X برابر باشد با توزیع Y(بدون مشروط کردن آن).یعنی:

(P(Y=y|X=x)=P(Y=y

در مورد متغیرهای تصادفی پیوسته رابطه بالا به صورت زیر خواهد بود:

(fY(y|X=x)= fY(y

توجه[ویرایش]

به عنوان تابعی از y برای هر x داده شده (P(Y=y|X=x یک احتمال خواهد بود و جمع روی y(یا انتگرال روی y در صورت پیوسته بودن توزیع) ۱ خواهد شد.در حالی که به عنوان تابعی از x برای هر y داده شده رابطه فوق یک احتمال نخواهد بود و جمع روی x برابر با ۱ نخواهد شد.

منابع[ویرایش]

http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Conditional_probability_distribution&oldid=467196678