در ریاضیات ، چندجمله ایهای وابسته لژاندر جوابهای متعارف:
(
1
−
x
2
)
d
2
d
x
2
P
ℓ
m
(
x
)
−
2
x
d
d
x
P
ℓ
m
(
x
)
+
[
ℓ
(
ℓ
+
1
)
−
m
2
1
−
x
2
]
P
ℓ
m
(
x
)
=
0
,
{\displaystyle (1-x^{2}){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)-2x{\frac {d}{dx}}P_{\ell }^{m}(x)+\left[\ell (\ell +1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right]P_{\ell }^{m}(x)=0,}
{\displaystyle }
از معادله زیر موسوم به معادله لژاندر هستند:
d
d
x
[
(
1
−
x
2
)
d
d
x
P
ℓ
m
(
x
)
]
+
[
ℓ
(
ℓ
+
1
)
−
m
2
1
−
x
2
]
P
ℓ
m
(
x
)
=
0
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[(1-x^{2}){\frac {d}{dx}}P_{\ell }^{m}(x)\right]+\left[\ell (\ell +1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right]P_{\ell }^{m}(x)=0}
{\displaystyle }
که در آن شاخص ℓ و m (که اعداد صحیح هستند) به عنوان مرتبه و درجه چند جمله ای لژاندر وابسته میباشند. این معادله دارای جوابهای غیر صفر است و تنها در صورتی در [1, 1−] غیر منفردند که اعداد صحیح ℓ و m در شرط
0
≤
|
m
|
≤
|
ℓ
|
{\displaystyle 0\leq \left|{m}\right\vert \leq \left|{\ell }\right\vert }
m زوج باشد، این تابع یک چند جمله ای است. هنگامی که m برابر صفر و ℓ مقداری صحیح باشد، این توابع با چندجمله ایهای لژاندر معادلند. بهطور کلی هرگاه ℓ و m اعداد صحیح هستند، راه حلها معمولاً به عنوان «چندجمله ایهای لژاندر وابسته» خوانده میشود، حتی زمانی که m مقداری فرد بوده و معادله یک چندجمله ای نباشد. بهطور کلی رده عمومی این توابع با مقادیر واقعی یا مرکب دلخواه از ℓ و m توابع لژاندر هستند. در این حالت پارامترها معمولاً با حروف یونانی برچسب گذاری میشوند.
معادله دیفرانسیل معمولی لژاندر اغلب در فیزیک و سایر زمینههای فنی کاربرد دارد، به ویژه در زمان حل معادله لاپلاس (و معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی وابسته) در مختصات کروی . توابع وابسته لژاندر نقشی حیاتی در تعریف هماهنگهای کروی دارد.
[ ویرایش ] این توابع به صورت
P
ℓ
m
(
x
)
{\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)}
چندجملهایهای لژاندر هستند. (m ≥ ۰)
P
ℓ
m
(
x
)
=
(
−
1
)
m
(
1
−
x
2
)
m
/
2
d
m
d
x
m
(
P
ℓ
(
x
)
)
{\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}\left(P_{\ell }(x)\right)}
توابع توصیف شده در این معادله با مقادیر مشخص شده از پارامترهای ℓ و m معادله دیفرانسیل عمومی لژاندر را برآورده میکنند. پاسخ معادله لژاندر Pℓ با تفکیک m به شرح زیر است:[ ۱]
(
1
−
x
2
)
d
2
d
x
2
P
ℓ
(
x
)
−
2
x
d
d
x
P
ℓ
(
x
)
+
ℓ
(
ℓ
+
1
)
P
ℓ
(
x
)
=
0.
{\displaystyle (1-x^{2}){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}P_{\ell }(x)-2x{\frac {d}{dx}}P_{\ell }(x)+\ell (\ell +1)P_{\ell }(x)=0.}
علاوه بر این، بر طبق فرمول رودریگز داریم:
P
ℓ
(
x
)
=
1
2
ℓ
ℓ
!
d
ℓ
d
x
ℓ
[
(
x
2
−
1
)
ℓ
]
,
{\displaystyle P_{\ell }(x)={\frac {1}{2^{\ell }\,\ell !}}\ {\frac {d^{\ell }}{dx^{\ell }}}\left[(x^{2}-1)^{\ell }\right],}
که P ℓ m
P
ℓ
m
(
x
)
=
(
−
1
)
m
2
ℓ
ℓ
!
(
1
−
x
2
)
m
/
2
d
ℓ
+
m
d
x
ℓ
+
m
(
x
2
−
1
)
ℓ
.
{\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)={\frac {(-1)^{m}}{2^{\ell }\ell !}}(1-x^{2})^{m/2}\ {\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell }.}
این معادله گستره m را به ℓ ≤ m ≤ ℓ− محدود میکند. طبق تعریف P ℓ ±m ، حاصل عبارت فوق با جایگزینی m± ، متناسب است. ضمن اینکه ضرایب توان در دو طرف معادله باید برابر باشد.
d
ℓ
−
m
d
x
ℓ
−
m
(
x
2
−
1
)
ℓ
=
c
l
m
(
1
−
x
2
)
m
d
ℓ
+
m
d
x
ℓ
+
m
(
x
2
−
1
)
ℓ
,
{\displaystyle {\frac {d^{\ell -m}}{dx^{\ell -m}}}(x^{2}-1)^{\ell }=c_{lm}(1-x^{2})^{m}{\frac {d^{\ell +m}}{dx^{\ell +m}}}(x^{2}-1)^{\ell },}
که از آن نتیجه میدهد ثابت تناسب برابر است با
c
l
m
=
(
−
1
)
m
(
ℓ
−
m
)
!
(
ℓ
+
m
)
!
,
{\displaystyle c_{lm}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}},}
بطوری که
P
ℓ
−
m
(
x
)
=
(
−
1
)
m
(
ℓ
−
m
)
!
(
ℓ
+
m
)
!
P
ℓ
m
(
x
)
.
{\displaystyle P_{\ell }^{-m}(x)=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}(x).}
نمادگذاری زیر نیز در نوشتهها استفاده میشود:[ ۲]
P
ℓ
m
(
x
)
=
(
−
1
)
m
P
ℓ
m
(
x
)
{\displaystyle P_{\ell m}(x)=(-1)^{m}P_{\ell }^{m}(x)}
با فرض
0
≤
m
≤
ℓ
{\displaystyle 0\leq {m}\leq {\ell }}
m برآورده میکنند :
∫
−
1
1
P
k
m
P
ℓ
m
d
x
=
2
(
ℓ
+
m
)
!
(
2
ℓ
+
1
)
(
ℓ
−
m
)
!
δ
k
,
ℓ
{\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{k}^{m}P_{\ell }^{m}dx={\frac {2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}}\ \delta _{k,\ell }}
که در آن δk , ℓتابع دلتای کرونیکر است.
همچنین، این توابع شرط تعامد را به ازای مقدار ثابت ℓ نیز برآورده میکنند:
∫
−
1
1
P
ℓ
m
P
ℓ
n
1
−
x
2
d
x
=
{
0
if
m
≠
n
(
ℓ
+
m
)
!
m
(
ℓ
−
m
)
!
if
m
=
n
≠
0
∞
if
m
=
n
=
0
{\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {P_{\ell }^{m}P_{\ell }^{n}}{1-x^{2}}}dx={\begin{cases}0&{\mbox{if }}m\neq n\\{\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}&{\mbox{if }}m=n\neq 0\\\infty &{\mbox{if }}m=n=0\end{cases}}}
این معادله دیفرانسیل نسبت به تغییر علامت m کاملاً ناوردا است .
این توابع برای مقادیر منفی m همانگونه که در بالا نشان داده شدبرابر با مقادیر مثبت m هستند :
P
ℓ
−
m
=
(
−
1
)
m
(
ℓ
−
m
)
!
(
ℓ
+
m
)
!
P
ℓ
m
{\displaystyle P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}}
(این رابطه حاصل تعریف فرمول رودریگز است. این تعریف همچنین نشان میدهد که روابط بازگشتی مختلف برای مقادیر مثبت یا منفی m برقرار است .)
If
∣
m
∣
>
ℓ
t
h
e
n
P
ℓ
m
=
0.
{\displaystyle {\textrm {If}}\quad {\mid }m{\mid }>\ell \,\quad \mathrm {then} \quad P_{\ell }^{m}=0.\,}
این معادله دیفرانسیل همچنین تحت تغییر از ℓ تا ℓ − 1 − ناوردا است، و تابع برای مقادیر منفی ℓ به صورت زیر تعریف میشود
P
−
ℓ
m
=
P
ℓ
−
1
m
,
(
ℓ
=
1
,
2
,
.
.
.
)
{\displaystyle P_{-\ell }^{m}=P_{\ell -1}^{m},\ (\ell =1,\,2,\,...)}
طبق تعریف تأیید میشود که توابع وابسته لژاندر هم زوج یا فرد میشوند، بطوری که
P
ℓ
m
(
−
x
)
=
(
−
1
)
ℓ
+
m
P
ℓ
m
(
x
)
{\displaystyle P_{\ell }^{m}(-x)=(-1)^{\ell +m}P_{\ell }^{m}(x)}
[ ویرایش ] توابع وابسته لژاندر به ازای m = ۰ توابع وابسته لژاندر به ازای m = ۱ توابع وابسته لژاندر به ازای m = ۲ چند گزینه اول از توابع وابسته لژاندر، که شامل مقادیر منفی m نیز میباشند، عبارتند از:
P
0
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle P_{0}^{0}(x)=1}
P
1
−
1
(
x
)
=
−
1
2
P
1
1
(
x
)
{\displaystyle P_{1}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}P_{1}^{1}(x)}
P
1
0
(
x
)
=
x
{\displaystyle P_{1}^{0}(x)=x}
P
1
1
(
x
)
=
−
(
1
−
x
2
)
1
/
2
{\displaystyle P_{1}^{1}(x)=-(1-x^{2})^{1/2}}
P
2
−
2
(
x
)
=
1
24
P
2
2
(
x
)
{\displaystyle P_{2}^{-2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{24}}\end{matrix}}P_{2}^{2}(x)}
P
2
−
1
(
x
)
=
−
1
6
P
2
1
(
x
)
{\displaystyle P_{2}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}P_{2}^{1}(x)}
P
2
0
(
x
)
=
1
2
(
3
x
2
−
1
)
{\displaystyle P_{2}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)}
P
2
1
(
x
)
=
−
3
x
(
1
−
x
2
)
1
/
2
{\displaystyle P_{2}^{1}(x)=-3x(1-x^{2})^{1/2}}
P
2
2
(
x
)
=
3
(
1
−
x
2
)
{\displaystyle P_{2}^{2}(x)=3(1-x^{2})}
P
3
−
3
(
x
)
=
−
1
720
P
3
3
(
x
)
{\displaystyle P_{3}^{-3}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{720}}\end{matrix}}P_{3}^{3}(x)}
P
3
−
2
(
x
)
=
1
120
P
3
2
(
x
)
{\displaystyle P_{3}^{-2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{120}}\end{matrix}}P_{3}^{2}(x)}
P
3
−
1
(
x
)
=
−
1
12
P
3
1
(
x
)
{\displaystyle P_{3}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{12}}\end{matrix}}P_{3}^{1}(x)}
P
3
0
(
x
)
=
1
2
(
5
x
3
−
3
x
)
{\displaystyle P_{3}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)}
P
3
1
(
x
)
=
−
3
2
(
5
x
2
−
1
)
(
1
−
x
2
)
1
/
2
{\displaystyle P_{3}^{1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}(5x^{2}-1)(1-x^{2})^{1/2}}
P
3
2
(
x
)
=
15
x
(
1
−
x
2
)
{\displaystyle P_{3}^{2}(x)=15x(1-x^{2})}
P
3
3
(
x
)
=
−
15
(
1
−
x
2
)
3
/
2
{\displaystyle P_{3}^{3}(x)=-15(1-x^{2})^{3/2}}
P
4
−
4
(
x
)
=
1
40320
P
4
4
(
x
)
{\displaystyle P_{4}^{-4}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{40320}}\end{matrix}}P_{4}^{4}(x)}
P
4
−
3
(
x
)
=
−
1
5040
P
4
3
(
x
)
{\displaystyle P_{4}^{-3}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{5040}}\end{matrix}}P_{4}^{3}(x)}
P
4
−
2
(
x
)
=
1
360
P
4
2
(
x
)
{\displaystyle P_{4}^{-2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{360}}\end{matrix}}P_{4}^{2}(x)}
P
4
−
1
(
x
)
=
−
1
20
P
4
1
(
x
)
{\displaystyle P_{4}^{-1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {1}{20}}\end{matrix}}P_{4}^{1}(x)}
P
4
0
(
x
)
=
1
8
(
35
x
4
−
30
x
2
+
3
)
{\displaystyle P_{4}^{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)}
P
4
1
(
x
)
=
−
5
2
(
7
x
3
−
3
x
)
(
1
−
x
2
)
1
/
2
{\displaystyle P_{4}^{1}(x)=-{\begin{matrix}{\frac {5}{2}}\end{matrix}}(7x^{3}-3x)(1-x^{2})^{1/2}}
P
4
2
(
x
)
=
15
2
(
7
x
2
−
1
)
(
1
−
x
2
)
{\displaystyle P_{4}^{2}(x)={\begin{matrix}{\frac {15}{2}}\end{matrix}}(7x^{2}-1)(1-x^{2})}
P
4
3
(
x
)
=
−
105
x
(
1
−
x
2
)
3
/
2
{\displaystyle P_{4}^{3}(x)=-105x(1-x^{2})^{3/2}}
P
4
4
(
x
)
=
105
(
1
−
x
2
)
2
{\displaystyle P_{4}^{4}(x)=105(1-x^{2})^{2}}
این توابع دارای تعدادی روابط بازگشتی اند:
(
ℓ
−
m
+
1
)
P
ℓ
+
1
m
(
x
)
=
(
2
ℓ
+
1
)
x
P
ℓ
m
(
x
)
−
(
ℓ
+
m
)
P
ℓ
−
1
m
(
x
)
{\displaystyle (\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)=(2\ell +1)xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}
2
m
x
P
ℓ
m
(
x
)
=
−
1
−
x
2
[
P
ℓ
m
+
1
(
x
)
+
(
ℓ
+
m
)
(
ℓ
−
m
+
1
)
P
ℓ
m
−
1
(
x
)
]
{\displaystyle 2mxP_{\ell }^{m}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}\left[P_{\ell }^{m+1}(x)+(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)\right]}
1
1
−
x
2
P
ℓ
m
(
x
)
=
−
1
2
m
[
P
ℓ
−
1
m
+
1
(
x
)
+
(
ℓ
+
m
−
1
)
(
ℓ
+
m
)
P
ℓ
−
1
m
−
1
(
x
)
]
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2m}}\left[P_{\ell -1}^{m+1}(x)+(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)\right]}
1
1
−
x
2
P
ℓ
m
(
x
)
=
−
1
2
m
[
P
ℓ
+
1
m
+
1
(
x
)
+
(
ℓ
−
m
+
1
)
(
ℓ
−
m
+
2
)
P
ℓ
+
1
m
−
1
(
x
)
]
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2m}}\left[P_{\ell +1}^{m+1}(x)+(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)\right]}
1
−
x
2
P
ℓ
m
(
x
)
=
1
2
ℓ
+
1
[
(
ℓ
−
m
+
1
)
(
ℓ
−
m
+
2
)
P
ℓ
+
1
m
−
1
(
x
)
−
(
ℓ
+
m
−
1
)
(
ℓ
+
m
)
P
ℓ
−
1
m
−
1
(
x
)
]
{\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)-(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)\right]}
1
−
x
2
P
ℓ
m
(
x
)
=
1
2
ℓ
+
1
[
−
P
ℓ
+
1
m
+
1
(
x
)
+
P
ℓ
−
1
m
+
1
(
x
)
]
{\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[-P_{\ell +1}^{m+1}(x)+P_{\ell -1}^{m+1}(x)\right]}
1
−
x
2
P
ℓ
m
+
1
(
x
)
=
(
ℓ
−
m
)
x
P
ℓ
m
(
x
)
−
(
ℓ
+
m
)
P
ℓ
−
1
m
(
x
)
{\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m)xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}
1
−
x
2
P
ℓ
m
+
1
(
x
)
=
(
ℓ
−
m
+
1
)
P
ℓ
+
1
m
(
x
)
−
(
ℓ
+
m
+
1
)
x
P
ℓ
m
(
x
)
{\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)-(\ell +m+1)xP_{\ell }^{m}(x)}
1
−
x
2
d
d
x
P
ℓ
m
(
x
)
=
1
2
[
(
ℓ
+
m
)
(
ℓ
−
m
+
1
)
P
ℓ
m
−
1
(
x
)
−
P
ℓ
m
+
1
(
x
)
]
{\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}{\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\frac {1}{2}}\left[(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)-P_{\ell }^{m+1}(x)\right]}
(
1
−
x
2
)
d
d
x
P
ℓ
m
(
x
)
=
1
2
ℓ
+
1
[
(
ℓ
+
1
)
(
ℓ
+
m
)
P
ℓ
−
1
m
(
x
)
−
ℓ
(
ℓ
−
m
+
1
)
P
ℓ
+
1
m
(
x
)
]
{\displaystyle (1-x^{2}){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[(\ell +1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)-\ell (\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)\right]}
(
x
2
−
1
)
d
d
x
P
ℓ
m
(
x
)
=
ℓ
x
P
ℓ
m
(
x
)
−
(
ℓ
+
m
)
P
ℓ
−
1
m
(
x
)
{\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\ell }xP_{\ell }^{m}(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)}
(
x
2
−
1
)
d
d
x
P
ℓ
m
(
x
)
=
−
(
ℓ
+
1
)
x
P
ℓ
m
(
x
)
+
(
ℓ
−
m
+
1
)
P
ℓ
+
1
m
(
x
)
{\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)=-(\ell +1)xP_{\ell }^{m}(x)+(\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)}
(
x
2
−
1
)
d
d
x
P
ℓ
m
(
x
)
=
1
−
x
2
P
ℓ
m
+
1
(
x
)
+
m
x
P
ℓ
m
(
x
)
{\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m+1}(x)+mxP_{\ell }^{m}(x)}
(
x
2
−
1
)
d
d
x
P
ℓ
m
(
x
)
=
−
(
ℓ
+
m
)
(
ℓ
−
m
+
1
)
1
−
x
2
P
ℓ
m
−
1
(
x
)
−
m
x
P
ℓ
m
(
x
)
{\displaystyle (x^{2}-1){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)=-(\ell +m)(\ell -m+1){\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m-1}(x)-mxP_{\ell }^{m}(x)}
اولین روابط بازگشتی:
P
ℓ
+
1
ℓ
+
1
(
x
)
=
−
(
2
ℓ
+
1
)
1
−
x
2
P
ℓ
ℓ
(
x
)
{\displaystyle P_{\ell +1}^{\ell +1}(x)=-(2\ell +1){\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{\ell }(x)}
P
ℓ
ℓ
(
x
)
=
(
−
1
)
ℓ
(
2
ℓ
−
1
)
!
!
(
1
−
x
2
)
(
ℓ
/
2
)
{\displaystyle P_{\ell }^{\ell }(x)=(-1)^{\ell }(2\ell -1)!!(1-x^{2})^{(\ell /2)}}
P
ℓ
+
1
ℓ
(
x
)
=
x
(
2
ℓ
+
1
)
P
ℓ
ℓ
(
x
)
{\displaystyle P_{\ell +1}^{\ell }(x)=x(2\ell +1)P_{\ell }^{\ell }(x)}
این توابع زمانی که متغیر از نوع زاویه ای لحاظ میشود بسیار مفیدند، مانند
x
=
cos
θ
{\displaystyle x=\cos \theta }
P
ℓ
m
(
cos
θ
)
=
(
−
1
)
m
(
sin
θ
)
m
d
m
d
(
cos
θ
)
m
(
P
ℓ
(
cos
θ
)
)
{\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )=(-1)^{m}(\sin \theta )^{m}\ {\frac {d^{m}}{d(\cos \theta )^{m}}}\left(P_{\ell }(\cos \theta )\right)\,}
با استفاده از رابطه
(
1
−
x
2
)
1
/
2
=
sin
θ
{\displaystyle (1-x^{2})^{1/2}=\sin \theta }
لیست ذکر شده در بالا ، به عنوان اولین چند جمله ایهای وابسته لژاندر به صورت زیر تبدیل میشوند:
P
0
0
(
cos
θ
)
=
1
P
1
0
(
cos
θ
)
=
cos
θ
P
1
1
(
cos
θ
)
=
−
sin
θ
P
2
0
(
cos
θ
)
=
1
2
(
3
cos
2
θ
−
1
)
P
2
1
(
cos
θ
)
=
−
3
cos
θ
sin
θ
P
2
2
(
cos
θ
)
=
3
sin
2
θ
P
3
0
(
cos
θ
)
=
1
2
(
5
cos
3
θ
−
3
cos
θ
)
P
3
1
(
cos
θ
)
=
−
3
2
(
5
cos
2
θ
−
1
)
sin
θ
P
3
2
(
cos
θ
)
=
15
cos
θ
sin
2
θ
P
3
3
(
cos
θ
)
=
−
15
sin
3
θ
P
4
0
(
cos
θ
)
=
1
8
(
35
cos
4
θ
−
30
cos
2
θ
+
3
)
P
4
1
(
cos
θ
)
=
−
5
2
(
7
cos
3
θ
−
3
cos
θ
)
sin
θ
P
4
2
(
cos
θ
)
=
15
2
(
7
cos
2
θ
−
1
)
sin
2
θ
P
4
3
(
cos
θ
)
=
−
105
cos
θ
sin
3
θ
P
4
4
(
cos
θ
)
=
105
sin
4
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}^{0}(\cos \theta )&=1\\[8pt]P_{1}^{0}(\cos \theta )&=\cos \theta \\[8pt]P_{1}^{1}(\cos \theta )&=-\sin \theta \\[8pt]P_{2}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(3\cos ^{2}\theta -1)\\[8pt]P_{2}^{1}(\cos \theta )&=-3\cos \theta \sin \theta \\[8pt]P_{2}^{2}(\cos \theta )&=3\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(5\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\[8pt]P_{3}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {3}{2}}(5\cos ^{2}\theta -1)\sin \theta \\[8pt]P_{3}^{2}(\cos \theta )&=15\cos \theta \sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{3}(\cos \theta )&=-15\sin ^{3}\theta \\[8pt]P_{4}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{8}}(35\cos ^{4}\theta -30\cos ^{2}\theta +3)\\[8pt]P_{4}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {5}{2}}(7\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\sin \theta \\[8pt]P_{4}^{2}(\cos \theta )&={\tfrac {15}{2}}(7\cos ^{2}\theta -1)\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{4}^{3}(\cos \theta )&=-105\cos \theta \sin ^{3}\theta \\[8pt]P_{4}^{4}(\cos \theta )&=105\sin ^{4}\theta \end{aligned}}}
روابط متعامدی که در بالا ذکر شد، در این فرمول آمدهاست:
برای مقدار ثابت m ,
P
ℓ
m
(
cos
θ
)
{\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}
[
0
,
π
]
{\displaystyle [0,\pi ]}
sin
θ
{\displaystyle \sin \theta }
∫
0
π
P
k
m
(
cos
θ
)
P
ℓ
m
(
cos
θ
)
sin
θ
d
θ
=
2
(
ℓ
+
m
)
!
(
2
ℓ
+
1
)
(
ℓ
−
m
)
!
δ
k
,
ℓ
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{k}^{m}(\cos \theta )P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\,\sin \theta \,d\theta ={\frac {2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}}\ \delta _{k,\ell }}
همچنین، به ازای ℓ ثابت:
∫
0
π
P
ℓ
m
(
cos
θ
)
P
ℓ
n
(
cos
θ
)
csc
θ
d
θ
=
{
0
if
m
≠
n
(
ℓ
+
m
)
!
m
(
ℓ
−
m
)
!
if
m
=
n
≠
0
∞
if
m
=
n
=
0
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{\ell }^{m}(\cos \theta )P_{\ell }^{n}(\cos \theta )\csc \theta \,d\theta ={\begin{cases}0&{\text{if }}m\neq n\\{\frac {(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}}&{\text{if }}m=n\neq 0\\\infty &{\text{if }}m=n=0\end{cases}}}
در ازای θ،
P
ℓ
m
(
cos
θ
)
{\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}
d
2
y
d
θ
2
+
cot
θ
d
y
d
θ
+
[
λ
−
m
2
sin
2
θ
]
y
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {dy}{d\theta }}+\left[\lambda -{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\,y=0\,}
به عبارت دقیق تر، با توجه به صحیح بودن
0
≤
m
{\displaystyle 0\leq {m}}
λ
=
ℓ
(
ℓ
+
1
)
{\displaystyle \lambda =\ell (\ell +1)\,}
m صدق کند ، و این پاسخها متناسبند با
P
ℓ
m
(
cos
θ
)
{\displaystyle P_{\ell }^{m}(\cos \theta )}
Arfken, G.B.; Weber, H.J. (2001), Mathematical methods for physicists , Academic Press, ISBN 0-12-059825-6 Belousov, S. L. (1962), Tables of normalized associated Legendre polynomials , Mathematical tables, vol. 18, Pergamon Press Condon, E. U.; Shortley, G. H. (1970), The Theory of Atomic Spectra , Cambridge, England: Cambridge University Press, OCLC 5388084 Courant, Richard ; Hilbert, David (1953), Methods of Mathematical Physics, Volume 1 , New York: Interscience Publischer, IncDunster, T. M. (2010), "Legendre and Related Functions" , in Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions ISBN 978-0521192255 MR 2723248 Edmonds, A.R. (1957), Angular Momentum in Quantum Mechanics , Princeton University Press, ISBN 0-691-07912-9 Hildebrand, F. B. (1976), Advanced Calculus for Applications , Prentice Hall, ISBN 0-13-011189-9 Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Orthogonal Polynomials" , in Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions ISBN 978-0521192255 MR 2723248 Schach, S. R. (1973) New Identities for Legendre Associated Functions of Integral Order and Degree 
![{\displaystyle (1-x^{2}){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)-2x{\frac {d}{dx}}P_{\ell }^{m}(x)+\left[\ell (\ell +1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right]P_{\ell }^{m}(x)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92db9a782177a7e1eb69c36e1c9d1c33ce5bc7bc)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[(1-x^{2}){\frac {d}{dx}}P_{\ell }^{m}(x)\right]+\left[\ell (\ell +1)-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right]P_{\ell }^{m}(x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/918ec803eebef3f5df089511e301ce99f1695395)
![{\displaystyle P_{\ell }(x)={\frac {1}{2^{\ell }\,\ell !}}\ {\frac {d^{\ell }}{dx^{\ell }}}\left[(x^{2}-1)^{\ell }\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43ca96dae138d4dc21c8eb5ee22e0f3c09d8b2ae)
![{\displaystyle 2mxP_{\ell }^{m}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}\left[P_{\ell }^{m+1}(x)+(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16b8c51959e61b723fca74ad217ca195809a70d1)
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2m}}\left[P_{\ell -1}^{m+1}(x)+(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e697003e6ca8eba77eafc0ee9584a1bb0f73b97a)
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {-1}{2m}}\left[P_{\ell +1}^{m+1}(x)+(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a85ac33b2bfe757e1c5680ce2bcb075febcb0258)
![{\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)-(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa0b88f261e938f80c8b93576b8bf3e290727722)
![{\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}P_{\ell }^{m}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[-P_{\ell +1}^{m+1}(x)+P_{\ell -1}^{m+1}(x)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c7fe98006c037dab7b86639e3fa18a80a5a5ae7)
![{\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}{\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\frac {1}{2}}\left[(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)-P_{\ell }^{m+1}(x)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eba467a53fecf20a7cd085d7b7de07a89b565e74)
![{\displaystyle (1-x^{2}){\frac {d}{dx}}{P_{\ell }^{m}}(x)={\frac {1}{2\ell +1}}\left[(\ell +1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m}(x)-\ell (\ell -m+1)P_{\ell +1}^{m}(x)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c189752c02a82355c76baf09259946997196d2a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}^{0}(\cos \theta )&=1\\[8pt]P_{1}^{0}(\cos \theta )&=\cos \theta \\[8pt]P_{1}^{1}(\cos \theta )&=-\sin \theta \\[8pt]P_{2}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(3\cos ^{2}\theta -1)\\[8pt]P_{2}^{1}(\cos \theta )&=-3\cos \theta \sin \theta \\[8pt]P_{2}^{2}(\cos \theta )&=3\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{2}}(5\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\[8pt]P_{3}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {3}{2}}(5\cos ^{2}\theta -1)\sin \theta \\[8pt]P_{3}^{2}(\cos \theta )&=15\cos \theta \sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{3}^{3}(\cos \theta )&=-15\sin ^{3}\theta \\[8pt]P_{4}^{0}(\cos \theta )&={\tfrac {1}{8}}(35\cos ^{4}\theta -30\cos ^{2}\theta +3)\\[8pt]P_{4}^{1}(\cos \theta )&=-{\tfrac {5}{2}}(7\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\sin \theta \\[8pt]P_{4}^{2}(\cos \theta )&={\tfrac {15}{2}}(7\cos ^{2}\theta -1)\sin ^{2}\theta \\[8pt]P_{4}^{3}(\cos \theta )&=-105\cos \theta \sin ^{3}\theta \\[8pt]P_{4}^{4}(\cos \theta )&=105\sin ^{4}\theta \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ddaa2766fcd73e8e64234f1f511089d9e11f97d)
![{\displaystyle [0,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e2a912eda6ef1afe46a81b518fe9da64a832751)
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {dy}{d\theta }}+\left[\lambda -{\frac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right]\,y=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf734246861cd768b5d9f61be5f5f3b0f3f502f5)
