تعامد

AB و CD برهم عمود هستند.

در ریاضیات، دو بردار را متعامد گویند هرگاه بر هم عمود باشند. به عبارت دیگر دو بردار متعامدند اگر و تنها اگر ضرب داخلی آنها برابر با صفر باشد یا با هم زاویهٔ راست (۹۰ درجه) ساخته باشند.

تعریف‌ها

تعریف. دو بردار $x$ و $y$ را در یک فضای ضرب داخلی $V$ بر هم عمودند اگر ضرب داخلی $\langle x, y \rangle$ صفر باشد. این تعامد را با $x \perp y$ نشان می‌دهند.

تعریف. دو زیرفضای برداری $A$ و $B$ از یک فضای ضرب داخلی $V$ را زیرفضاهای متعامد می‌گوییم اگر هر بردار از $A$ به هر بردار از $B$ عمود باشد. بزرگ‌ترین زیرفضایی که به یک زیرفضا عمود باشد، متمم عمود آن نامیده می‌شود.

تعریف. یک نگاشت خطی $T : V \rightarrow V$ را نگاشت خطی متعامد می‌گوییم اگر ضرب داخلی را پایسته نگه دارد. یعنی برای هر جفت بردار $x$ و $y$ در فضای ضرب داخلی $V$ داشته باشیم:

$\langle Tx, Ty \rangle = \langle x, y \rangle.$

این یعنی $T$ زاویهٔ بین $x$ و $y$ را ثابت نگه می‌دارد و طول $Tx$ و $x$ برابر است.

دسته‌ای از بردارهای دوبه‌دو عمود بر هم را که طول واحد داشته باشند (بردار یکّه باشند) بردارهای راست‌هنجار (متعامد یکه) می‌نامیم.

توابع متعامد

مرسوم است که برای توابع $f$ و $g$ ضرب داخلی زیر را تعریف کنیم:

$\langle f, g\rangle_w = \int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx.$

که در آن ‎$w(x)$‎ تابع وزن نامنفی برای ضرب داخلی است. در این صورت، می‌گوییم دو تابع بر هم عمودند اگر ضرب داخلی‌شان صفر باشد:

$\int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx = 0.$

در این ضرب داخلی، طول بردارها (تابع‌ها) از ضرب داخلی بردار در خودش به دست می‌آید:

$\|f\|_w = \sqrt{\langle f, f\rangle_w}$

اعضای یک دنباله از توابع { f_i : i = 1, 2, 3, ... } متعامد هستند اگر

$\langle f_i, f_j \rangle=\int_{-\infty}^\infty f_i(x) f_j(x) w(x)\,dx=\|f_i\|^2\delta_{i,j}=\|f_j\|^2\delta_{i,j}$

و راست‌هنجار (متعامد یکه) هستند اگر:

$\langle f_i, f_j \rangle=\int_{-\infty}^\infty f_i(x) f_j(x) w(x)\,dx=\delta_{i,j}$

در رابطهٔ بالا

$\delta_{i,j}=\left\{\begin{matrix}1 & \mathrm{if}\ i=j \\ 0 & \mathrm{if}\ i\neq j\end{matrix}\right.$

دلتای کرونکر نام دارد. به زبان دیگر هر دو عضوی از این دنباله بر هم عمودند و طول‌شان (برای توابع راست‌هنجار) 1 است. چندجمله‌ای‌های متعامد را ببینید.

مثال‌ها

• بردارهای (1, 3, 2)، (3, −1, 0) و (1/3, 1, −5/3) بر هم عمودند، زیرا ‎(1)(3) + (3)(−1) + (2)(0) = 0, (3)(1/3) + (−1)(1) + (0)(−5/3) = 0, (1)(1/3) + (3)(1) − (2)(5/3) = 0‎.
• دو تابع 2t + 3 و 5t² + t − 17/9 را در نظر بگیرید. این تابع‌ها در بازهٔ $[-1,1]$ و با تابع وزن $w(x)=1$ بر هم عمودند. ضرب این دو تابع برابر است با ‎10t³ + 17t² − 7/9 t − 17/3‎ و ضرب داخلی‌شان می‌شود:

$\int_{-1}^{1} \left(10t^3+17t^2-{7\over 9}t-{17\over 3}\right)\,dt = \left[{5\over 2}t^4+{17\over 3}t^3-{7\over 18}t^2-{17\over 3}t\right]_{-1}^{1}$

$=\left({5\over 2}(1)^4+{17\over 3}(1)^3-{7\over 18}(1)^2-{17\over 3}(1)\right)-\left({5\over 2}(-1)^4+{17\over 3}(-1)^3-{7\over 18}(-1)^2-{17\over 3}(-1)\right)$

$={19\over 9}-{19\over 9}=0.$

• چندجمله‌ای‌های متعامد بسیاری هستند که در ریاضیات، علوم و مهندسی کاربردهای بی‌شماری دارند. مانند:
  • چندجمله‌ای‌های هرمیت
  • چندجمله‌ای‌های لژاندر
  • چندجمله‌ای‌های لاگر
  • چندجمله‌ای‌های چبیشف
• در مکانیک کوانتومی، دو ویژه‌حالت یک تابع موج $\psi_m$ و $\psi_n$ متعامد هستند اگر مربوط به ویژه‌مقدارهای متفاوتی باشند. به زبان نمادگذاری دیراک، $\langle \psi_m | \psi_n \rangle = 0$ مگر این که $\psi_m$ و $\psi_n$ متعلق به یک ویژه‌مقدار باشند.

منابع

• ویکی‌پدیای انگلیسی

کتاب‌های رایگان برخط

• محمد خرمی. «جبر خطی» ‎(فارسی)‎ (PDF). تابستان ۲۰۰۳. بازبینی‌شده در ۲۹ مارس ۲۰۰۹. 

• Beezer, Rob, A First Course in Linear Algebra
• Connell, Edwin H., Elements of Abstract and Linear Algebra
• Hefferon, Jim, Linear Algebra excellent textbook with complete solutions manual