تعادل نش زیربازی کامل

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در نظریه ی بازی ها (به انگلیسی:Game theory)، تعادل نش زیربازی کامل(SPNE) یکی از روش های یافتن تعادل نش (Nash Equilibrium) است که در بازی های پویا (dynamic games) مورد استفاده قرار می گیرد. مشخصات استراتژی های (S* (strategy profiles در یک بازی به شکل گسترده، که از یافتن تعادل نش تمام زیربازی های کل بازی بدست می آید، یک تعادل نش زیربازی کامل است.[۱]

تعریف زیربازی (subgame)[ویرایش]

یک زیربازی از یک بازی به فرم گسترده با اطلاعات کامل، یک زیرمجموعه از بازی است اگر دو مشخصه زیر را داشته باشد:

  1. با یک گره ای (node) که پایانی نیست، آغاز شود.
  2. تمامی گره هایی را که در ادامه این گره قرار دارند، شامل شود؛ و تنها همین دسته از گره ها را شامل شود.

تعریف استقرای معکوس (Backward Induction)[ویرایش]

یک روش معمول برای یافتن تعادل نش زیربازی کامل در بازی های متناهی، استفاده از استقرای معکوس (backward induction) می باشد. سؤالی که در این جا ممکن است مطرح شود این است که چرا در بازی های پویا نمی توان با نوشتن فرم استراتژیک (strategic form) بازی، تعادل را یافت؟ برای پاسخ به این سؤال، به بازی زیر که به بازی ورود به یک صنعت (An Entry Game) معروف است، توجه کنید(به "شکل گسترده بازی ورود به یک صنعت" توجه شود.):

شکل گسترده ی بازی ورود به یک صنعت

فرم استراتژیک این بازی بدین شکل است (به شکل "فرم استراتژیک بازی" توجه شود):

فرم استراتژیک بازی

بدون درنظرگرفتن ساختار ترتیبی این بازی، دو تعادل نش خواهیم یافت:

(سازش اگر بنگاه بالقوه وارد بازار شود و واردشدن)
(جنگ اگر بنگاه بالقوه وارد بازار شود و واردنشدن)

اما تعادل نش دوم، عقلانی به نظر نمی‌رسد. چون بنگاه بالقوه درک می کند که اگر استراتژی "واردشدن" را اتخاذ کند، برای بنگاه فعال بهینه این است که به جای استراتژی "جنگ"، استراتژی "سازش" را انتخاب کند؛ چرا که با انتخاب استراتژی "جنگ"، دریافتی بنگاه فعال 1- می شود ولی با بازی کردن استراتژی "سازش"، دریافتی وی برابر با 1 خواهد بود. درحقیقت، اتخاذ استراتژی جنگ توسط بنگاه فعال، یک تهدید معتبر نمی‌باشد. این مشکل به دلیل در نظر نگرفتن طبیعت ترتیبی این بازی به وقوع می پیوندد. بنابراین به دلیل بروز این مشکل به نظر می رسد برای یافتن تعادل در بازی های پویای متناهی، نیاز به یک مفهوم قوی تر نسبت به تعادل نش داریم. این مفهوم قوی تر، "استقرای معکوس" می باشد.

استقرای معکوس برای به تحقق رساندن ایده ی عقلانیت ترتیبی (sequential rationality) در بازی های متناهی با اطلاعات کامل (finite games of perfect information) استفاده می شود و فرایند آن بدین ترتیب است:

  1. در تمامی گره های تصمیم گیری پایانی (final decision nodes)، رفتار (action) بهینه را مشخص کنید.
  2. باتوجه به رفتارهای بهینه ای که در مرحله ی قبلی معین کردید، رفتار بهینه را در گره های تصمیم گیری یکی مانده به آخر تعیین کنید.
  3. به همین ترتیب رفتارهای بهینه را به صورت معکوس در درخت بازی تعیین کنید.

توضیح بیشتر تعادل نش زیر بازی کامل و ارایه مثال[ویرایش]

حال که با مفهوم استقرای معکوس آشنا شدید، به شرح بیشتر تعادل نش زیربازی کامل می پردازیم:

این شیوه از یافتن تعادل، توسط راینهارد سیلتن (Reinhard Selten) پیشنهاد شده است. در تعادل نش زیربازی کامل نباید هیچ زیربازی ای وجود داشته باشد که در آن، بازیکن i ام بتواند ازطریق انتخاب استراتژی ای متفاوت از استراتژی s*i، دریافتی خود را بیشتر کند، باتوجه به اینکه هر بازیکن j دیگر، براساس استراتژی s*j بازی می کند. بنابراین:

If:P(h)=i → ui (Oh (S* ))≥ ui(Oh (Si,Sj* )) for ∀Si

یعنی در تاریخچه ای که نوبت بازیکن iام است که استراتژی خود را انتخاب کند، مطلوبیتی که بازیکن iام از انتخاب استراتژی *S به دست می آورد، حداقل به خوبی مطلوبیتی است که از انتخاب هر استراتژی دیگری که متفاوت از استراتژی *S است، به دست می آورد، باتوجه به اینکه سایر بازیکنان براساس استراتژی S*j معین خود بازی می کنند.
فرایند استقرای معکوس می تواند در یافتن تعادل نش زیربازی کامل مورداستفاده قرار گیرد. انجام فرایند بدین ترتیب است:

  1. تمام زیربازی های بازی کلی را پیدا کنید.
  2. از انتهای درخت بازی شروع کرده و تعادل نش هر کدام از زیربازی های پایانی را بیابید.
  3. هر کدام از زیربازی های پایانی را با پرداختی های تعادل نش آن زیربازی، جایگزین کرده و بدین ترتیب شکل کاهش یافته ی بازی را بسازید.
  4. مراحل 2 و 3 را تکرار کنید و فرایند را ادامه دهید تا هر جابجایی (move) ترتیبی در بازی مشخص شود.
  5. اگر هیچ کدام از زیربازی ها، تعادل نش چندگانه نداشته باشند، آن گاه تعادل نش زیربازی کامل مشخص شده، یکتا خواهد بود. درغیر اینصورت، فرایند مذکور را هر بار با جایگزین کردن یکی از تعادل های نش یافته شده ادامه دهید.

برای روشن تر شدن بیشتر این توضیحات، مثال بازی ورود به یک صنعت (شکل گسترده ی بازی ورود به یک صنعت) را که پیش تر ذکر شد درنظر بگیرید؛ فرایند توضیح داده شده به ترتیب در آن انجام خواهد شد:

1. زیربازی های این بازی عبارتند از:
زیر بازی الف
الف) (به شکل زیربازی الف توجه شود.)
ب) کل بازی
2. از زیربازی الف شروع می کنیم؛ در اینجا نوبت بنگاه فعال است که رفتار بهینه ی خود را انجام دهد و دریافتی های دوم (عدد پایینی) در ماتریس دریافتی ها (در شکل زیربازی الف) مربوط به او می باشد. بنگاه فعال با انتخاب استراتژی "جنگ"، دریافتی خود را برابر با 1- می کند درحالیکه اگر استراتژی "سازش" را اتخاذ کند، 1 نصیبش خواهد شد. بنابراین بنگاه فعال، استراتژی "سازش" را انتخاب خواهد کرد(زیرا 1 > 1-).
3. شکل کاهش یافته ی بازی بدین ترتیب می شود(به "شکل کاهش یافته بازی" توجه شود):
شکل کاهش یافته بازی
4. حال نوبت بنگاه بالقوه است که استراتژی بهینه ی خود را مشخص کند و دریافتی های اول در ماتریس دریافتی ها مربوط به این بنگاه است؛ بنگاه بالقوه با انتخاب استراتژی "وارد شدن"، دریافتی خود را برابر 2 خواهد کرد که بیشتر از دریافتی استراتژی "واردنشدن" است.

بدین ترتیب تعادل نش زیربازی کامل این بازی بدین ترتیب است:

(سازش اگر بنگاه بالقوه وارد بازار شود و وارد شدن)

لازم به ذکر است که هر تعادل نش زیربازی کامل، خود یک تعادل نش می باشد.

پس می توان گفت مجموعه تعادل های نش زیربازی کامل برای یک بازی گسترده متناهی با اطلاعات کامل برابر با مجموعه مشخصات استراتژی هایی است که از طریق فرایند استقرای معکوس به دست آمده است.
همچنین هر بازی متناهی با اطلاعات کامل یک استراتژی خالص تعادل نش زیربازی کامل دارد. علاوه براین، اگر هیچ بازیکنی پرداختی مشابه در هر دو گره پایانی نداشته باشد، پس یک تعادل نش زیربازی کامل یکتا وجود خواهد داشت.

بازی اولتیماتوم[ویرایش]

حال به شرح معروف ترین مثال یافتن تعادل نش زیربازی کامل، یعنی "بازی اولتیماتوم" می پردازیم:
فرض کنید 10000 تومان پول وجود دارد. بازیکن 1 که "پیشنهاد دهنده" است، باید x تومان را به بازیکن 2 پیشنهاد دهد. X بین صفر تا 10000 تومان می تواند تغییر کند و کمترین واحد آن 100 تومان است. بازیکن 2 که "پاسخ دهنده" است، می تواند "بله" یا "خیر" را انتخاب کند. اگر "بله" را انتخاب کند، پرداختی به وی برابر با x و پرداختی به بازیکن 1 برابر با اختلاف ده هزار و عدد پیشنهادی خواهد شد؛ و اگر "خیر" را انتخاب کند، پرداختی به هر دوی آن ها برابر با صفر خواهد بود. فرض می شود هر بازیکن تنها به دریافتی خودش توجه دارد. شکل گسترده این بازی بدین ترتیب است:

شکل گسترده بازی اولتیماتوم

از طریق استقرای معکوس به یافتن تعادل نش زیربازی کامل بازی مذکور می پردازیم:
در زیربازی پایانی بازیکن 2 باید تصمیم بگیرد که استراتژی "بله" را انتخاب کند یا "خیر"؛ اگر x>0 به بازیکن 2 پیشنهاد شود، برای بازیکن 2 اکیداً بهینه است که "بله" را انتخاب کند. اگر به بازیکن 2، x=0 پیشنهاد شود، او بین بازی کردن "بله" یا "خیر" بی تفاوت است.

  • یک تعادل نش زیربازی کامل برای این بازی بدین ترتیب است:

بازیکن 2 اگر x>0 به وی پیشنهاد شود، "بله" را انتخاب می کند، و اگر x=0 به او پیشنهاد شود، "خیر" را بازی می کند.
در این صورت برای بازیکن 1 بهینه است که x=100 تومان را به بازیکن 2 پیشنهاد دهد؛ درحقیقت، چون تقریباً همه ی قدرت چانه زنی دست بازیکن 1 است، او تقریباً همه ی پول را برای خود برمی دارد.

  • یک تعادل نش زیربازی کامل دیگر این بازی چنین است که:

بازیکن 2 به ازای هر x ای که به وی پیشنهاد شود، "بله" را بازی می کند. در این شرایط برای بازیکن 1، بهینه این است که x=0 را به بازیکن 2 پیشنهاد دهد.

- اما تحقیقات تجربی نشان داده است که:

بازیکن 1 معمولاً 35 تا 50 درصد از پول را به بازیکن 2 پیشنهاد می دهد.
بازیکن 2 پیشنهادهای کوچک را رد می کند.
علت این امر دو چیز می تواند باشد: ممکن است بازیکن 2 نسبت به برابری حساس باشد و دوست نداشته باشد که با او ناعادلانه رفتار شود؛ به همین دلیل پیشنهادهای کم را رد می کند. ممکن است که بازیکن 1 نسبت به برابری حساس باشد و دوست نداشته باشد که با بازیکن 2 با نابرابری رفتار کند؛ یا حتی با علم به اینکه بازیکن 2 پیشنهادهای کم را رد می کند، سعی در بهینه کردن دریافت پولی خود داشته باشد.

پانویس[ویرایش]

  1. Osborne, M. J. (2004). An Introduction to Game Theory. Oxford University Press. 

منابع[ویرایش]

  • Osborne, M. J. (2004). An Introduction to Game Theory. Oxford University Press
  • Mass-Collel. (1995). Microeconomic Theory. Oxford University Press