تصاعد هندسی

نمایش تصویری تصاعد هندسی ۱ + ۱/۲ + ۱/۴ + ۱/۸ + ... که قدر نسبت آن ۱/۲ است.

در ریاضیات، دنبالهٔ هندسی یا تصاعد هندسی (به انگلیسی: geometric progression) به دنباله‌ای از اعداد گفته می‌شود که از جملهٔ اول به بعد، هر جمله برابر است با حاصل‌ضرب جملهٔ قبلی در یک عدد ثابتِ مخالف صفر و یک. به این عدد ثابت قدر نسبت تصاعد گفته می‌شود. برای نمونه دنبالهٔ ۲، ۶، ۱۸، ۵۴، … یک دنباله از اعداد با قدر نسبت ۳ است. مجموع اعداد یک دنبالهٔ هندسی را سری هندسی می‌نامند.

شکل کلی دنباله‌های هندسی به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

$a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\ ar^{4},\ \ldots$

بنابراین شکل کلی سری هندسی به‌صورت زیر خواهد بود:

$a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\cdots$

در رابطه‌های بالا $a$ جملهٔ اول دنباله و r ≠ ۰ قدر نسبت تصاعد می‌باشد.

ویژگی‌های اولیه

n امین جملهٔ تصاعد هندسی با قدر نسبت r و جملهٔ اول $a$ به صورت زیر نوشته می‌شود:

$a_{n}=a\,r^{n-1}$

همچنین طبق معادلهٔ تفاضل برای تمامی $n\geq 1$ می‌توان گفت:

$a_{n}=r\,a_{n-1}$

رفتار جمله‌های یک دنبالهٔ هندسی تنها به قدر نسبت آن تصاعد وابسته‌است؛ چنانچه قدر نسبت تصاعد:

• مثبت باشد، جمله‌های بعدی دنباله همگی هم علامت جملهٔ اول خواهد بود.
• منفی باشد، جمله‌های بعدی دنباله به صورت یک در میان علامت مخالف خواهند داشت.
• بزرگتر از ۱ باشد، جمله‌های دنباله رشد نمایی به سمت مثبت بی‌نهایت خواهند داشت.
• ۱ باشد، دنباله ثابت خواهد بود.
• میان ۱ و ۱- باشد به‌جزء صفر، جمله‌های بعدی دنباله به صفر میل می‌کند. (اعداد سری هندسی به ترتیب کاهش می‌یابند و به صفر نزدیک می‌شوند؛ ولی هیچ‌گاه صفر نمی‌شود)
• ۱- باشد، جمله‌های بعدی تشکیل یک دنبالهٔ متناوب را خواهند داد. (اعداد به ترتیب یک در میان با تعویض علامت همراه هستند)
• کوچکتر از ۱- باشد، قدر مطلق جمله‌های دنباله رشد نمایی خواهند داشت و هر یک از آن‌ها بسته به علامت به سمت مثبت یا منفی بی‌نهایت میل خواهند کرد.

در صورتی که در دنباله‌های هندسی، قدر نسبت برابر با ۰ یا ۱ یا ۱- نباشد، در حالت کلی شاهد رشد نمایی به سمت مثبت یا منفی بی‌نهایت (بسته به علامت جمله‌ها) یا به سمت صفر خواهیم بود.

تشحیص دنباله هندسی

برای تشخیص دنباله هندسی دو جمله متوالی از دنباله هندسی را به هم تقسیم کنیم.

${\frac {a_{4}}{a_{3}}},{\frac {a_{3}}{a_{2}}}$

اگر به مقدار ثابتی رسیدیم. دنباله ما هندسی هست. مثال: آیا دنبال زیر هندسی است؟

$20,10,5,2.5,1.25,...$

جواب:

${\frac {a_{4}}{a_{3}}}={\frac {2.5}{5}}=0.5$

${\frac {a_{3}}{a_{2}}}={\frac {5}{10}}=0.5$

پس دنباله بالا هندسی است.

واسطه هندسی

اگر سه جمله a , b , c ، سه جمله متوالی دنباله هندسی باشد. آنگاه رابطه زیر برقرار است:

$b^{2}=ac$

مثال: مقدار x را طوری تعیین کنید که دنباله زیر هندسی باشد.

$x,x-3,x+1$

حل

$(x-3)^{2}=x(x+1)$

$x={\frac {9}{7}}$

سری‌های هندسی

مقالهٔ اصلی: سری هندسی

سری هندسی به مجموع جمله‌های یک دنبالهٔ هندسی گفته می‌شود.

$\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}.\,$

اگر دو سوی تساوی را در $1-r$ ضرب کنیم به رابطهٔ ساده‌تری می‌رسیم و خواهیم داشت:

${\begin{aligned}(1-r)\sum _{k=0}^{n}ar^{k}&=(1-r)(ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n})\\&=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}\\&{\color {White}{}=ar^{0}}-ar^{1}-ar^{2}-ar^{3}-\cdots -ar^{n}-ar^{n+1}\\&=a-ar^{n+1}\end{aligned}}$

برای یک سری هندسی در صورتی که r ≠ ۱ باشد رابطهٔ مجموع به صورت زیر نوشته می‌شود:

$\sum _{k=0}^{n}ar^{k}={\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}.$

اگر مجموع را از شمارشگری بزرگتر از ۰ مانند m شروع کنیم:

$\sum _{k=m}^{n}ar^{k}={\frac {a(r^{m}-r^{n+1})}{1-r}}.$

مشتق این رابطه نسبت به r باعث می‌شود تا به رابطه‌ای برای مجموع برسیم:

$\sum _{k=0}^{n}k^{s}r^{k}.$

برای نمونه:

${\frac {d}{dr}}\sum _{k=0}^{n}r^{k}=\sum _{k=1}^{n}kr^{k-1}={\frac {1-r^{n+1}}{(1-r)^{2}}}-{\frac {(n+1)r^{n}}{1-r}}.$

یک سری هندسی که تنها توان‌های زوج r را دارد را باید در $1-r^{2}$: ضرب کرد:

$(1-r^{2})\sum _{k=0}^{n}ar^{2k}=a-ar^{2n+2}.$

آنگاه

$\sum _{k=0}^{n}ar^{2k}={\frac {a(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}.$

و برای سری که توان‌های فرد r را دارد:

$(1-r^{2})\sum _{k=0}^{n}ar^{2k+1}=ar-ar^{2n+3}$

و

$\sum _{k=0}^{n}ar^{2k+1}={\frac {ar(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}.$

سری‌های هندسی نامتناهی

مقالهٔ اصلی: سری هندسی

یک سری هندسی نامتناهی یک سری نامتناهی ریاضی است که جمله‌های پشت هم آن قدر نسبت ثابتی داشته باشند. چنین سری‌های همگرا خواهند بود اگر و تنها اگر قدر مطلق قدر نسبت آن کوچکتر از ۱ باشد ۱> |r|. مقدار آن‌ها را می‌توان بوسیله رابطهٔ بدست آمده برای مجموع سری در حالت متناهی بدست آورد:

$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=\lim _{n\to \infty }{\sum _{k=0}^{n}ar^{k}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a}{1-r}}-\lim _{n\to \infty }{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}$

از آنجایی که:

$r^{n+1}\to 0{\mbox{ as }}n\to \infty {\mbox{ when }}|r|<1.$

آنگاه

$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}-0={\frac {a}{1-r}}$

برای سری که تنها توان‌های زوج $r$ را دارد:

$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{2k}={\frac {a}{1-r^{2}}}$

و برای توان‌های فرد:

$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{2k+1}={\frac {ar}{1-r^{2}}}$

در صورتی که مجموع از شمارشگر k = ۰ شروع نشود:

$\sum _{k=m}^{\infty }ar^{k}={\frac {ar^{m}}{1-r}}$

رابطه‌ای که در بالا بدست آمد تنها برای ۱> |r| معتبر است. در حالتی که یک مجموع متناهی داشته باشیم، می‌توانیم از مشتق‌گیری برای بدست آوردن مجموع استفاده کنیم. برای نمونه:

${\frac {d}{dr}}\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }kr^{k-1}={\frac {1}{(1-r)^{2}}}$

رابطهٔ بالا تنها برای ۱> |r| کار می‌کند. همچنین برای۱> |r| می‌توان نوشت:

$\sum _{k=0}^{\infty }kr^{k}={\frac {r}{\left(1-r\right)^{2}}}\,;\,\sum _{k=0}^{\infty }k^{2}r^{k}={\frac {r\left(1+r\right)}{\left(1-r\right)^{3}}}\,;\,\sum _{k=0}^{\infty }k^{3}r^{k}={\frac {r\left(1+4r+r^{2}\right)}{\left(1-r\right)^{4}}}$

سری‌های نامتناهی مانند ۱/۲ + ۱/۴ + ۱/۸ + ۱/۱۶ + · · · وجود دارند که مطلقاً همگرا هستند. در این سری جملهٔ اول و قدر نسبت هر دو ۱/۲ هستند؛ مجموع این سری خواهد بود:

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1/2}{1-(+1/2)}}=1.$

وارون سری بالا ۱/۲ − ۱/۴ + ۱/۸ − ۱/۱۶ + · · · خود یک نمونه از سری‌های متناوب است که مطلقاً همگرا است. در این سری هندسی جملهٔ اول ۱/۲ است و مجموع آن عبارت است از:

${\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1/2}{1-(-1/2)}}={\frac {1}{3}}.$

اعداد مختلط

رابطه‌هایی که برای مجموع سری‌های هندسی بدست آمد حتی در مجموعهٔ اعداد مختلط نیز معتبر است. با این تفاوت که شرط «قدر مطلق r کوچکتر از ۱ باید باشد»، با «اندازهٔ عدد مختلط r کوچکتر از ۱ باید باشد» جایگزین می‌شود. با کمک مفهوم اعداد مختلط برخی سری‌هایی که به ظاهر هندسی نیستند به سری هندسی تبدیل می‌شوند. برای نمونه:

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {r\sin(x)}{1+r^{2}-2r\cos(x)}}$

چون:

$\sin(kx)={\frac {e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i}},$

که این از نتایج فرمول اولر است. با جایگزینی آن در رابطهٔ اصلی خواهیم داشت:

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {1}{2i}}\left[\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{ix}}{r}}\right)^{k}-\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{-ix}}{r}}\right)^{k}\right]$.

که این خود برابر است با تفاضل دو سری هندسی.

ضرب

ضرب یک تصاعد هندسی به معنی ضرب تمامی جمله‌های آن در یکدیگر است. اگر تمامی جمله‌های آن مثبت باشد، می‌توان آن را به آسانی به کمک رابطهٔ میانگین هندسی و جمله‌های اول و آخر دنباله، محاسبه کرد. (این رابطه به مجموع تصاعد حسابی بسیار شبیه‌است)

$\prod _{i=0}^{n}ar^{i}=\left({\sqrt {a_{1}\cdot a_{n+1}}}\right)^{n+1}$ (if $a,r>0$).

اثبات: اگر ضرب را را با علامت P نمایش دهیم:

$P=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}$.

پس از انجام عمل ضرب خواهیم داشت:

$P=a^{n+1}r^{1+2+3+\cdots +(n-1)+(n)}$.

با استفاده از مجموع تصاعد حسابی خواهیم داشت:

$P=a^{n+1}r^{\frac {n(n+1)}{2}}$.

$P=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}$.

دو سوی تساوی را به توان ۲ می‌رسانیم:

$P^{2}=(a^{2}r^{n})^{n+1}=(a\cdot ar^{n})^{n+1}$.

در نتیجهٔ این کار:

اثبات شد.

رابطه‌های دیگر

چگونه جملهٔ بین دو جمله را پیدا کنیم؟
در اینجا می‌خواهیم جملهٔ بین یعنی x را بدست آوریم:

$4,x,16$

برای این کار از رابطه زیر استفاده می‌کنیم:

$x={\sqrt {4.16}}$

جمع‌بندی

در شکل زیر جمله عمومی دنباله هندسی و واسطه هندسی نمایش داده شده.

جمله عمومی دنباله هندسی

${\begin{array}{|c|}\hline a_{n}=ar^{n-1}\\\hline \end{array}}$

واسطه هندسی

${\begin{array}{|c|}\hline a,\ b,\ c\\b^{2}=ac\\\hline \end{array}}$

جمله عمومی دنباله هندسی و واسطه هندسی

جستارهای وابسته

• دنباله
• سری هندسی
• توماس مالتوس
• تابع نمایی
• تصاعد حسابی

منابع

• Hall & Knight, Higher Algebra, p.  ۳۹، ISBN 81-8116-000-2
• Weisstein, Eric W. "Geometric Series". MathWorld.

• ریاضیات ۲، اسماعیل بابلیان، میرزا جلیلی، رضا شهریاری اردبیلی، علیرضا مدقالچی، اداره کل چاپ و توزیع کتاب‌های درسی، ۱۳۸۰ (کتاب رسمی وزارت آموزش و پرورش جمهوری اسلامی ایران برای سال دوم آموزش متوسطه در رشتهٔ نظری)

پیوند به بیرون

• ویدیوهای آموزشی تصاعد هندسی در کلاس درس
• Derivation of رابطه‌های مربوط به مجموع سری‌های هندسی متناهی و نامتناهی در Mathalino
• شمارشگر تصاعدهای هندسی
• اثبات زیبایی برای مجموع تصاعد هندسی در sputsoft.com