تبدیل موجک سریع

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

تبدیل موجک سریع الگوریتمی ریاضی برای یافتن تبدیل موجک یک سیگنال است. بدین منظور تصویر سیگنال بر روی هر یک از توابع موجک در زمانها و مقیاس‌های مختلف محاسبه می‌گردد. به عبارت دیگر حاصل‌ضرب داخلی سیگنال f(t) با هر یک از موجک‌ها \phi به شکل زیر محاسبه می‌شود:

s^{(J)}_n:=2^J \langle f(t),\phi(2^J t-n) \rangle,

بدین تصویر سیگنال بر فضای V_j برابر است با:

 P_J[f](x):=\sum_{n\in\Z} s^{(J)}_n\,\phi(2^Jx-n)

تبدیل موجک گسسته[ویرایش]

یک مرحله از تبدیل موجک با فیلترهای h و g

با داشتن مضارب s^{(J)} می‌توان با الگوریتمی بازگشتی مضارب s^{(J-1)} را با استفاده از رابطه زیر یافت:

s^{(k)}_n:=\frac12 \sum_{m=-N}^N a_m s^{(k+1)}_{2n+m}

یا:

s^{(k)}(Z):=(\downarrow 2)(a^*(Z)\cdot s^{(k+1)}(Z))

و:

d^{(k)}_n:=\frac12 \sum_{m=-N}^N b_m s^{(k+1)}_{2n+m}

یا:

d^{(k)}(Z):=(\downarrow 2)(b^*(Z)\cdot s^{(k+1)}(Z))

اعمال بانک فیلتر به صورت بازگشتی

که (\downarrow 2) عملگر زیرنمونه‌گیری است و در فضای زد به صورت سری لوران ضرایب با اندیس زوج تعریف می‌شود:

(\downarrow 2)(c(Z))=\sum_{k\in\Z}c_{2k}Z^k

بدین ترتیب:

P_k[f](x):=\sum_{n\in\Z} s^{(k)}_n\,\phi(2^kx-n)

که حاصل جمع بالا، برابر با تصویر سیگنال P_k[f](x) بر زیرفضای V_k است. در نتیجه:

P_J[f](x)=P_k[f](x)+D_k[f](x)+\dots+D_{J-1}[f](x)

که ضرایب جزئی برابرند با:

D_k[f](x):=\sum_{n\in\Z} d^{(k)}_n\,\psi(2^kx-n)

که \psi موجک مادر نامیده می‌شود.