تبدیل زد

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

‫در ریاضیات و پردازش سیگنال، تبدیل زد (Z-Transform) تبدیلی از سیگنال گسسته در حوزه زمان به فضای فرکانسی مختلط است. این تبدیل کاربرد گسترده‎ای در پردازش سیگنال‎های گسسته-زمان و دیجیتال دارد. این تبدیل را می‎توان تعمیمی از تبدیل فوریه‎ی گسسته‎زمان درنظر گرفت که که فضای تبدیل تمام صفحه‎ی مختلط است.

تعریف[ویرایش]

تبدیل زد دو طرفه بصورت زیر تعریف می‌شود:

که n عددی صحیح است و z عددی مختلط می‌باشد.

همگرایی[ویرایش]

شرط وجود تبدیل زد یک سیگنال، همگرایی مطلق سیگنال است. به این منظور شرط زیر باید برآورده شود:

این شرط، ناحیه‎ای از صفحه‎ی مختلط را در آن مقادیر از z تبدیل وجود دارد را مشخص می‎کند. برای سیگنال‎های دست راستی، ناحیه همگرایی از یک دایره در صفحه‎ی مختلط به بیرون است و برای سیگنال‎های دست چپی از دایره‎ای رو به داخل صفحه است. برای سیگنال‎هایی که ترکیبی از این دو نوع سیگنال محسوب می‎شوند، ناحیه‎ی همگرایی (در صورت وجود) اشتراک ناحیه‎هایی همگرایی سیگنال‎های سازنده است.

رابطه با تبدیل فوریه[ویرایش]

درصورتی که تبدیل زد یک سیگنال وجود داشته باشد و ناحیه‎ی همگرایی آن دایره‎ی واحد () را در بر بگیرد، تبدیل فوریه‎ی آن نیز وجود خواهد داشت و رابطه‎ی آن با تبدیل زد از تبدیل به دست می‎آید.

البته باید توجه داشت که این شرط تنها تبدیل فوریه را با فرض همگرایی مطلق، مشخص می‎کند و در صورت عدم برقرای این شرط نیز، امکان وجود تبدیل فورت با انواع دیگر همگرایی، وجود دارد.

تبدیل زد یک طرفه[ویرایش]

تبدیل زد یک طرفه بصورت زیر تعریف می‌شود:

که n عددی طبیعی و z در حالت کلی مختلط است. در پردازش سیگنال هنگامی از تبدیل زد یک طرفه استفاده می‌شود که سیستم علّی باشد.

منبع[ویرایش]

  • آلن اپنهایم، رونالد شافر، جان باک، پردازش سیگنال‎های گسسته زمان، ویرایش دوم.
  • مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Z-transform»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۲۰ مارس ۲۰۰۸).