تبدیل زد

‫در ریاضیات و پردازش سیگنال، تبدیل زد (Z-Transform) تبدیلی از سیگنال گسسته در حوزه زمان به فضای فرکانسی مختلط است. این تبدیل کاربرد گسترده‌ای در پردازش سیگنال‌های گسسته-زمان و دیجیتال دارد. این تبدیل را می‌توان تعمیمی از تبدیل فوریۀ گسسته‌زمان درنظر گرفت که که فضای تبدیل تمام صفحۀ مختلط است.

تاریخچه

ایده اصولی تبدیل زد (Z- transform) به دوران پی یر سیمون لاپلاس بر می گردد و در سال ۱۹۴۷ به توسط ریاضیدان لهستانی Witold Hurewicz برای محاسبه معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت مورد استفاده قرار گرفت. در ابتدا تبدیل زد بعنوان 'تبدیل لاپلاس توابع نمونه ای' معمول شد. در سال ۱۹۵۲ مفهوم مرسوم و امروزی تبدیل زد (Z-transform) بوسیله John R. Ragzzni و لطفی زاده به هنگام کار با سیگنالهای زمانی گسسته در چارچوب مهندسی کنترل در دانشگاه کلمبیا امریکا انجام شد. تبدیل زد پیشرفته بوسیلهEliahu Ibraham Jury در سال ۱۹۵۸ معرفی شد.

تعریف

تبدیل زد دو طرفه بصورت زیر تعریف می‌شود:

$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\$

که n عددی صحیح است و z عددی مختلط می‌باشد.

همگرایی

شرط وجود تبدیل زد یک سیگنال، همگرایی مطلق سیگنال است. به این منظور شرط زیر باید برآورده شود:

$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\mid x[n]z^{-n}\mid <\infty$

این شرط، ناحیه‌ای از صفحۀ مختلط را در آن مقادیر از z تبدیل وجود دارد را مشخص می‌کند. برای سیگنال‌های دست راستی، ناحیه همگرایی از یک دایره در صفحۀ مختلط به بیرون است و برای سیگنال‌های دست چپی از دایره‌ای رو به داخل صفحه است. برای سیگنال‌هایی که ترکیبی از این دو نوع سیگنال محسوب می‌شوند، ناحیۀ همگرایی (در صورت وجود) اشتراک ناحیه‌هایی همگرایی سیگنال‌های سازنده است.

رابطه با تبدیل فوریه

درصورتی که تبدیل زد یک سیگنال وجود داشته باشد و ناحیۀ همگرایی آن دایرۀ واحد ($\vert z\vert =1$) را در بر بگیرد، تبدیل فوریۀ آن نیز وجود خواهد داشت و رابطۀ آن با تبدیل زد از تبدیل $z\rightarrow e^{i\omega }$ به دست می‌آید.

البته باید توجه داشت که این شرط تنها تبدیل فوریه را با فرض همگرایی مطلق، مشخص می‌کند و در صورت عدم برقرای این شرط نیز، امکان وجود تبدیل فورت با انواع دیگر همگرایی، وجود دارد.

تبدیل زد یک طرفه

تبدیل زد یک طرفه بصورت زیر تعریف می‌شود:

$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}\$

که n عددی طبیعی و z در حالت کلی مختلط است. در پردازش سیگنال هنگامی از تبدیل زد یک طرفه استفاده می‌شود که سیستم علّی باشد.

منابع

• آلن اپنهایم، رونالد شافر، جان باک، پردازش سیگنال‌های گسسته زمان، ویرایش دوم.
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Z-transform». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۰ مارس ۲۰۰۸.