تابع سیگموئید

تابع لجستیک

تابع سیگموئید یا سیگماوار (به انگلیسی: Sigmoid function) تابعی حقیقی، یکنوا، کران‌دار و مشتق‌پذیر است که به ازای کلیه مقادیر حقیقی قابل تعریف بوده دارای مشتق نامنفی است که دارای یک نقطه‌ی عطف است. این تابع به لحاظ گرافیکی شکلی شبیه حرف S انگلیسی و سیگما در یونانی دارد و دارای رابطه کلی زیر است:

$S(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}=1-S(-x).$

دامنه توابع سیگموئید شامل تمامی اعداد حقیقی بوده و مقدار بازگشتی این تابع نیز به طور یکنواخت از 0 تا 1 یا باتوجه به نوع تابع از 1 تا 1- تغییر می‌کند. طیف گسترده ای از توابع سیگموئید از جمله توابع لجستیک و هذلولی به عنوان تابع فعال‌سازی در شبکه‌های عصبی استفاده می‌شود. منحنی‌های سیگموئید نیز در آمار به عنوان توابع توزیع تجمعی مانند انتگرال‌های چگالی لجستیک، چگالی نرمال و توابع چگالی تی-استیودنت رایج هستند.

خواص

مشتق تابع سیگموئید

تابع سیگموئید لجستیک معکوس‌پذیر است و معکوس آن تابع لوجیت است.

تابع سیگموئید دارای مشتق مرتبه اول است که شکلی مشابه با زنگوله (bell shaped) دارد.

تابع سیگموئید برای مقادیر کمتر از یک نقطه خاص شکلی محدب و برای مقادیر بزرگتر از آن نقطه شکلی مقعر دارد.

تابع سیگموئید دارای دو مجانب افقی است:

$\lim _{x\to -\infty }{\frac {1}{1+e^{-x}}}=0$

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{1+e^{-x}}}=1$

مشتق این تابع برابر است با:

$y'={\cfrac {dy}{dx}}={\frac {e^{-x}}{(1+e^{-x})^{2}}}=y(1-y)$

کاربردها

بسیاری از فرآیندهای طبیعی، مانند منحنی‌های فراگیری سیستم پیچیده، پیشرفتی را از ابتدای آغاز نشان می‌دهند که در طول زمان سرعت می‌گیرد و به اوج خود نزدیک می‌شود. هنگامی که یک مدل ریاضی خاص وجود ندارد، اغلب از یک تابع سیگموئید استفاده می‌شود.

در شبکه های عصبی مصنوعی، گاهی اوقات از توابع غیرساده برای افزایش بازدهی استفاده می‌شود که این‌ها به عنوان سیگموئیدهای سخت شناخته می شوند.

در پردازش سیگنال صوتی، از توابع سیگموئید به عنوان توابع انتقال شکل موج برای شبیه سازی صدای قطع الکترونیک آنالوگ استفاده می شود.