تئوری آکوستیک

تئوری آکوستیک به تفسیر ریاضی امواج صوت وابسته‌است و از دینامیک سیالات استنتاج می‌شود. انتشار امواج صوتی در سیال (مانند هوا) را می‌توان به وسیلهٔ معادله حرکت (پایستگی تکانه) و معادله پیوستگی (بقای جرم) مدلسازی کرد. با در نظرگرفتن پاره‌ای ساده‌سازی‌ها، به ویژه ثابت در نظر گرفتن چگالی، این معادلات به صورت زیر بیان می‌شوند:

${\begin{aligned}\rho _{0}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\nabla p&=0\qquad {\text{ }}\\{\frac {\partial p}{\partial t}}+\kappa ~\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\qquad {\text{ }}\end{aligned}}$

که این دو معادله به ترتیب بیانگر موازنه تکانه و موازنه جرم هستند. در این معادلات $p(\mathbf {x} ,t)$ فشار آکوستیک و $\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)$ بردار سرعت آکوستیکی سیال، $\mathbf {x}$ بردار مختصات فضایی،$x,y,z$، و $t$ زمان، $\rho _{0}$ چگالی ایستایی جرم محیط و $\kappa$ مدول بالک محیط می‌باشند. مدول بالک را می‌توان برحسب چگالی و سرعت صوت در محیط ($c_{0}$) به صورت زیر بیان کرد:

$\kappa =\rho _{0}c_{0}^{2}~.$

معادله موج آکوستیک ترکیبی از این دو دسته معادله توازن است که آن را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

${\cfrac {\partial ^{2}\mathbf {v} }{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}~\nabla ^{2}\mathbf {v} =0\qquad {\text{or}}\qquad {\cfrac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}~\nabla ^{2}p=0$

معادله موج آکوستیک (و معادلات جرم و تکانه) معمولاً برحسب $\varphi$ که $\mathbf {v} =\nabla \varphi$ بیان می‌شوند. به این ترتیب، معادله موج آکوستیک را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

${\cfrac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-c_{0}^{2}~\nabla ^{2}\varphi =0$

و معادلات توازن تکانه و جرم نیز به صورت زیر بیان می‌شوند:

$p+\rho _{0}~{\cfrac {\partial \varphi }{\partial t}}=0~;~~\rho +{\cfrac {\rho _{0}}{c_{0}^{2}}}~{\cfrac {\partial \varphi }{\partial t}}=0~.$

منابع

• ویکی‌پدیا انگلیسی