بعد کرول

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

در جبر جابجایی، بعد کرول یک حلقه جابجایی به نام ولفگانگ کرول نام گذاری شده و برابر با سوپریمم طول تمام زنجیره ایده‌آل های اول آن حلقه است. نیاز نیست بعد کرول متناهی باشد، حتی اگر حلقه مورد نظر نوتری باشد. بعد کرول را می توان به طور کلی تر برای مدول های روی حلقه ها (که شاید ناجابجایی هم باشند) بر اساس انحراف ترتیب جزئی زیرمدول ها تعریف کرد.

بعد کرول برای ارائه تعریفی جبری از بعد یک واریته جبری معرفی شده است: بعد واریته آفین بر اساس یک ایده‌آل در یک حلقه چند جمله ای چون برابر بعد تعریف می شود.

میدانی چون بعد کرول 0 دارد؛ به طور کلی تر دارای بعد کرول است. یک دامنه ایده‌آل اصلی که میدان نباشد دارای بعد کرول 1 است. یک حلقه موضعی دارای بعد کرول 0 است اگر و تنها اگر هر عنصر ایده‌آل ماکسیمال آن پوچ توان باشد.

راه های متعددی برای تعریف بعد یک حلقه استفاده شده اهست. بسیاری از آن ها با بعد کرول برای حلقه های نوتری به ی مفهوم منتهی می شوند، اما ممکن است برای حلقه های غیر نوتری متفاوت شوند.

توضیحات[ویرایش]

می گوییم یک زنجیره از ایده‌آل های اول به فرم دارای طول است. یعنی، طول آن برابر تعداد علامت های زیرمجموعه اکید در زنجیره مذکور است، نه تعداد ایده‌آل های اول آن؛ اختلاف تعداد این دو 1 است. ما بعد کرول را به صورت سوپریمم طول تمام زنجیره های ایده‌آل های اول درون تعریف می کنیم.

اگر ایده‌آل اولی چون در داده شده باشد، ارتفاع را به صورت نوشته و آن را سوپریمم طول تمام زنجیره ایده‌آل های اول شامل تعریف می کنیم، یعنی زنجیره هایی چون .[۱] به بیان دیگر، ارتفاع برابر بعد کرول موضعی سازی حلقه در است. یک ایده‌آل اول دارای ارتفاع صفر است اگر و تنها اگر ایده‌آل اول مینیمال باشد. بعد کرول یک حلقه برابر سوپریمم ارتفاع تمام ایده‌آل های ماکسیمال آن است، که برابر با همان سوپریمم ارتفاع تمام ایده‌آل های اول آن می باشد.

در یک حلقه نوتری، هر ایده‌آل اول دارای ارتفاع متناهی است. با وجود این، ناگاتا مثالی از یک حلقه نوتری با بعد کرول بی نهایت ارائه داد.[۲] یک حلقه را کتناری (زنجیره ای یا مسلسل) می نامند اگر هر دو ایده‌آل که رابطه زیر مجموعه بودن با هم دیگر داشتند، چون را بتوان به زنجیره ماکسیمالی از ایده‌آل های اول بین و توسعه داد، آنگاه هر دو زنجیره ماکسیمالی بین و دارای طولی برابر خواهند بود. یک حلقه را کتناری جهانی گویند اگر هر جبر متناهیاً تولید شده روی آن کتناری باشد. ناگاتا مثالی از یک حلقه نوتری ارائه داد که کتناری نبود.[۳]

در یک حلقه نوتری، قضیه ارتفاع کرول می گوید که ارتفاع ایده‌آل اول مینیمال روی ایده‌آل تولید شده توسط عضو حداکثر خواهد بود.

به طور کلی تر، ارتفاع یک ایده‌آل برابر اینفیموم ارتفاع تمام ایده‌آل های اول شامل است. به زبان هندسه جبری، این کمیت برابر هم-بعد زیر واریته ی متناظر با است.[۱]

یادداشت ها[ویرایش]

  1. ۱٫۰ ۱٫۱ Matsumura, Hideyuki: "Commutative Ring Theory", page 30–31, 1989
  2. Eisenbud, D. Commutative Algebra (1995). Springer, Berlin. Exercise 9.6.
  3. Matsumura, H. Commutative Algebra (1970). Benjamin, New York. Example 14.E.

کتابشناسی[ویرایش]

  • Irving Kaplansky, Commutative rings (revised ed.), University of Chicago Press, 1974, شابک ‎۰−۲۲۶−۴۲۴۵۴−۵. Page 32.
  • L.A. Bokhut'; I.V. L'vov; V.K. Kharchenko (1991). "I. Noncommuative rings". In Kostrikin, A.I.; Shafarevich, I.R. Algebra II. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. 18. Springer-Verlag. ISBN 3-540-18177-6. Sect.4.7.
  • Eisenbud, David (1995), Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
  • Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
  • Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6