پرش به محتوا

برگ‌سازی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
مقطع ۲-بعدی از برگ‌سازی ریب
مدل ۳-بعدی از برگ‌سازی ریب

در شاخه هندسه دیفرانسیل از ریاضیات، برگ‌سازی (به انگلیسی: Foliation)، نوعی رابطه هم‌ارزی روی یک n-منیفلد است. در رابطه هم‌ارزی مذکور، هر رده هم‌ارزی برابر زیرمنیفلدهای همبندی است که به‌طور یک-به-یک ایمرس شده و همگی دارای بعدی برابر با p می‌باشند. منیفلدهای مذکور روی تجزیه فضای مختصات حقیقی به هم‌دسته‌های که در به صورت استاندارد نشانده شده‌اند، مدل‌سازی می‌شوند. این رده‌های هم‌ارزی را برگ‌های این برگ‌سازی می‌گویند.[۱] اگر منیفلد مورد نظر و/یا زیرمنیفلدهای آن ملزم به داشتن خواصی چون قطعه-به-قطعه خطی بودن، دیفرانسیل‌پذیری (از رده ) یا ساختاری تحلیلی شوند، آنگاه می‌توان به ترتیب برگ‌سازی‌های قطعه-به-قطعه خطی، دیفرانسیل‌پذیر یا تحلیلی ایجاد نمود. در مهم‌ترین حالت، برگ‌سازی از رده را به صورت در نظر می‌گیرند (چرا که حالت ، برگ‌سازی توپولوژیکی است).[۲] عدد p (بعد برگ‌ها) را بعد برگ‌سازی نامیده و را هم‌بعد آن گویند.

در برخی مقالاتی که ریاضی-فیزیک‌دانان در مورد نسبیت عام نگاشته‌اند، اصطلاح برگ‌سازی (یا قاچ زدن، slicing) را جهت توصیف شرایطی به کار می‌برند که منیفلد لورنتزی مد نظر (فضا-زمان (p+1)-بعدی)، به ابر رویه‌های p بعدی تجزیه شده باشد، به گونه‌ای که می‌توان آن را به صورت مجوعه‌های سطحی (level sets) از یک تابع هموار حقیقی-مقداری (میدان نرده‌ای) در نظر گرفت که گرادیانش همه جا ناصفر است؛ همچنین اغلب این تابع هموار را تابع زمانی در نظر می‌گیرند، یعنی گرادیان آن زمان-گونه است، چنان‌که مجموعه‌های سطحی‌اش همگی ابررویه‌هایی فضا-گونه اند. در تمایز با واژه‌شناسی استاندارد ریاضیاتی، این ابررویه‌ها را اغلب برگ‌های (یا قاچ‌های) برگ‌سازی گویند.[۳] توجه کنید که با وجود این که این شرایط از نظر ریاضیاتی موجب ایجاد برگ‌سازی با هم-بعد ۱ می‌شود، اما مثال‌های این نوع برگ‌سازی در عمل از نظر سرتاسری بدیهی اند؛ در حالی که برگ‌های برگ‌سازیی با هم-بعد ۱ همیشه به‌طور موضعی، مجموعه‌های سطحی از یک تابع اند، این برگ‌سازی‌ها را عموماً نمی‌توان در حالت سرتاسری به این صورت بیان نمود،[۴][۵] چرا که ممکن است یک برگ از چارت (یا کارت) بدیهی‌ساز موضعی بی‌نهایت بار عبور کند و همچنین ممکن است هولونومی حول یک برگ، وجود توابعی که به‌طور سرتاسری برای برگ‌ها سازگار اند را نیز مانع شود. به عنوان مثال، درحالی که ۳-کره دارای برگ‌سازی معروفی با هم-بعد ۱ است که توسط Reeb کشف شد، برگ‌سازی با هم-بعد ۱ از منیفلد بسته دلخواه را نمی‌توان مجهز به مجموعه‌های سطحی یک تابع هموار نمود، چرا که تابع هموار دلخواه روی یک منیفلد بسته لزوماً دارای نقاط بحرانی در ماکسیمم‌ها و مینیمم‌هایش می‌باشد.

ارجاعات

[ویرایش]
  1. (Candel و Conlon 2000، ص. 5)
  2. (Anosov 2001)
  3. (Gourgoulhon 2012، ص. 56)
  4. Reeb, G. (1959). "Remarques sur les structures feuilletées" (PDF). Bull. Soc. Math. France. 87: 445–450. doi:10.24033/bsmf.1539. Zbl 0122.41603.
  5. (Lawson 1974)

منابع

[ویرایش]