ایده‌آل اول

در جبر، یک ایده‌آل اول زیر مجموعه ای از یک حلقه است که در خواص مهمی با اعداد اول در حلقه اعداد صحیح مشترک است.^[۱]^[۲] ایده‌آل‌های اول برای اعداد صحیح مجموعه‌هایی هستند که شامل تمام ضرایب یک عدد اول اند. ایده‌آل صفر نیز در اعداد صحیح یک ایده‌آل اول است.

ایده‌آل‌های ابتدایی (به انگلیسی: Primitive Ideals) نیز اول‌اند. همچنین ایده‌آل‌های اول، هم اولیه (به انگلیسی: Primary) هستند هم نیم-اول (به انگلیسی: Semiprime).

ایده‌آل‌های اول در حلقه‌های جابجایی

یک ایده‌آل $P$ از حلقه جابجایی $R$ اول است اگر دارای این دو خاصیت باشد:

اگر $a$ و $b$ دو عضو $R$ باشند به گونه ای که $ab$ عضوی از $P$ باشد، آنگاه حداقل یکی از $a$ یا $b$ در $P$ قرار دارند.
$P$ برابر کل حلقه $R$ نیست.

این مفهوم تعمیم دهندهٔ این خاصیت از اعداد اول است: اگر $p$ یک عدد اول باشد و $p$ حاصلضرب دو عدد صحیح $ab$ را بشمارد، آنگاه یا $p$ عدد $a$ را می‌شمارد یا $b$ را؛ لذا می‌توان گفت:

یک عدد صحیح

n

اول است اگر و تنها اگر

n\mathbb {Z}

ایده‌آل اولی در

\mathbb {Z}

باشد.

پانویس

↑ Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.
↑ Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X.

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Prime Ideal». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.

برای مطالعه بیشتر

Goodearl, K. R.; Warfield, R. B. , Jr. (2004), An introduction to noncommutative Noetherian rings, London Mathematical Society Student Texts, vol. 61 (2 ed.), Cambridge: Cambridge University Press, pp. xxiv+344, doi:10.1017/CBO9780511841699, ISBN 0-521-54537-4, MR 2080008{{citation}}: نگهداری یادکرد:نام‌های متعدد:فهرست نویسندگان (link)
Jacobson, Nathan (1989), Basic algebra. II (2 ed.), New York: W. H. Freeman and Company, pp. xviii+686, ISBN 0-7167-1933-9, MR 1009787
Kaplansky, Irving (1970), Commutative rings, Boston, Mass.: Allyn and Bacon Inc., pp. x+180, MR 0254021
Lam, T. Y. (2001), A first course in noncommutative rings, Graduate Texts in Mathematics, vol. 131 (2nd ed.), New York: Springer-Verlag, pp. xx+385, doi:10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 0-387-95183-0, MR 1838439, Zbl 0980.16001
Lam, T. Y.; Reyes, Manuel L. (2008), "A prime ideal principle in commutative algebra", J. Algebra, 319 (7): 3006–3027, doi:10.1016/j.jalgebra.2007.07.016, ISSN 0021-8693, MR 2397420, Zbl 1168.13002
"Prime ideal", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9.

[2] Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X.

[۱]

[۲]