ارتعاش آزاد سیستم‌های چند درجه آزادی

ارتعاش آزاد سیستم‌های چند درجه آزادی

ارتعاش آزاد، به ارتعاشی بدون هرگونه تحریک دینامیکی (نظیر نیروهای دینامیکی خارجی یا حرکت پایه) اطلاق می‌گردد. ارتعاش آزاد با برهم زدن وضعیت متعادل سازه به وسیله اعمال تغییر شکل یا سرعت اولیه، آغاز می‌شود.

این مبحث که اختصاص به ارتعاش آزاد سازه‌های چند درجه آزادی دارد، در قسمت اول، مودها و فرکانس‌های طبیعی ارتعاش سازه بسط داده می‌شود. این مفهوم نقش محوری در تحلیل دینامیکی و لرزه ای سیستم‌های خطی ایفا می‌کند.

در قسمت دوم، مفاهیم قسمت اول برای تعیین پاسخ ارتعاش آزاد سیستم‌های چند درجه آزادی به کار گرفته می‌شود. ابتدا سیستم‌های نامیرا مورد تحلیل قرار می‌گیرند. سپس بحثی در مورد اختلاف پاسخ ارتعاش آزاد سیستم‌ها با میرایی کلاسیک و غیرکلاسیک ارائه می‌گردد. سپس با علم به اینکه سیستم‌های میرا و نامیرا دارای مودهای ارتعاشی یکسانی می‌باشند، روشهای تحلیلی به سیستم‌های میرا بسط داده می‌شود.

قسمت اول: مودها و فرکانس‌های طبیعی ارتعاش

سیستم‌های بدون میرایی

معادله حاکم بر ارتعاش آزاد سیستم‌های چند درجه آزادی با p(t)=۰ می‌باشد که برای سیستم‌های بدون میرایی به صورت زیر در می‌آید:

$m{\ddot {u}}+ku=0$

این معادله، N معادله دیفرانسیل همگن را نشان می‌دهد که از طریق ماتریس جرم یا ماتریس سختی، یا هر دو ماتریس به یکدیگر همبسته هستند. N تعداد درجات آزادی است. می‌خواهیم حل u(t) رابطه بالا را طوری به دست آوریم که شرایط اولیه زیر را در زمان t=۰ اقناع نماید:

${\dot {u}}={\dot {u}}(0),u=u(0)$

روش عمومی حل سیستم‌های چند درجه آزادی در ادامه ارائه خواهد شد.

زمان تناوب طبیعی ${{T}_{n}}$ ، مدت زمان لازم برای انجام یک دور کامل از ارتعاش هارمونیک ساده هریک از مودهای طبیعی است. فرکانس زاویه ای طییعی ${{\omega }_{n}}$ و فرکانس دوره ای طبیعی ${{f}_{n}}$ نیز به صورت زیر تعریف می‌شوند:

${{T}_{n}}={\frac {2\pi }{{\omega }_{n}}},{{f}_{n}}={\frac {1}{{T}_{n}}}$

فرکانس‌ها و مودهای طبیعی ارتعاش

در این بخش، مسئله مقادیر ویژه که حل آنها منجر به تعیین مودها و فرکانس‌های طبیعی ارتعاش می‌گردد، مورد بحث قرار می‌گیرد. ارتعاش آزاد یک سیستم چند درجه آزادی نامیرا در هریک از مودهای ارتعاشی آن به زیان ریاضی به شکل زیر قابل بیان است:

$u(t)={{q}_{n}}(t){{\phi }_{n}}$

در رابطه فوق ${{\phi }_{n}}$ تابع شکل مودn ام بوده و منحنی تغیرشکل آن مود را نشان می‌دهد و تابع زمان نیست. ${{q}_{n}}(t)$ را مختصه زمانی یا به‌طور خلاصه، مختصه مودn ام گویند که تابع زمان است. تغییرات زمانی تغیبرشکل، یا مختصه مودی، با تابع هارمونیک ساده زیر تعریف می‌گردد.

${{q}_{n}}(t)={{A}_{n}}\cos {{\omega }_{n}}t+{{B}_{n}}\sin {{\omega }_{n}}t$

در رابطه فوق، ${{A}_{n}}$ و ${{B}_{n}}$ثابت‌های انتگرال‌گیری می‌باشند که از شرایط اولیه قابل تعیین هستند. با ترکیب روابط بالا به دست می‌آید:

$u(t)={{\phi }_{n}}({{A}_{n}}\cos {{\omega }_{n}}t+{{B}_{n}}\sin {{\omega }_{n}}t)$

که در آن ${{\omega }_{n}}$ و ${{\phi }_{n}}$ مجهول می‌باشند.

با قرار دادن u(t) از رابطه بالا نتیجه می‌شود:

$\left[-\omega _{n}^{2}m{{\phi }_{n}}+k{{\phi }_{n}}\right]{{q}_{n}}(t)=0$

رابطه فوق در دو حالت اقناع می‌شود:(الف) حالت${{q}_{n}}(t)=0$ که دلالت بر u(t)=۰ دارد و بدین معناست که هیچ گونه ارتعاشی در سیستم وجود ندارد .(ب) حالتی که عبارت داخل پرانتز مساوی صفر است که منجر به معادله جبری زیر می‌گردد:

$k{{\phi }_{n}}=\omega _{n}^{2}m{{\phi }_{n}}$

از رابطه فوق، نتایج مفیدی حاصل می‌گردد. مسئله جبری پیش آمده، مسئله مقادیر ویژه ماتریسی نامیده می‌شود. گاهی مواقع پسوند حقیقی نیز ممکن است به آن اضافه گردد تا از مسئله مقادیر ویژه مختلط تمیز داده شود. حالت اخیر مربوط به سازه‌های میرا می‌باشد ماتریس‌های سختی k و جرم m معلوم هستند و مجهول مسئله تعیین اسکالر$\omega _{n}^{2}$ و بردار${{\phi }_{n}}$ می‌باشد. برای شباهت دادن به حل کلاسیک رابطه بالا به شکل زیر نوشته می‌شود:

$\left[k-\omega _{n}^{2}m\right]{{\phi }_{n}}=0$

معادله فوق را می‌توان به صورت N معادله جبری همگن برای تعیین N مقدار ${{\phi }_{jn}}$ (j=۱٬۲,…,N) تفسیر نمود. این سری همواره دارای حل مبتذل(trivial solution) ${{\phi }_{n}}=0$ می‌باشد که حل مفیدی نیست و به معنای عدم وجود ارتعاش است. حل غیر مبتذل معادله فوق به صورت زیر در می‌آید:

$\det \left[k-\omega _{n}^{2}m\right]=0$

در صورت بسط دترمینان، یک چند جمله ای از درجه N بر حسب $\omega _{n}^{2}$ به دست می‌آید. معادله بالا، به معادله مشخصه یا معادله فرکانس معروف است. این معادله دارای N ریشه حقیقی و مثبت برای $\omega _{n}^{2}$ می‌باشد، زیرا ماتریسهای m و k که ماتریسهای سختی و جرم سازه هستند، متقارن و معین مثبت (Positive definite) هستند. برای سازه‌ها با شرایط تکیه گاهی پایدار که امکان حرکت صلب برای آنها ممکن نیست، ماتریس k معین مثبت است. این شرط همواره در سازه‌های مربوط به مهندسی عمران برقرار است، لیکن در سازه‌هایی مثل هواپیماها که در هوا در حال حرکت می‌باشند، صادق نیست. موضوع اخیر خارج از بحث این کتاب است. در طرف دیگر با حذف درجات آزادی بدون جرم متمرکز به روش تراکم استاتیکی، از معین مثبت بودن ماتریس جرم m نیز اطمینان کافی وجود دارد.

N ریشه معادله بالا،N فرکانس طبیعی ${{\omega }_{n}}$ (n=۱٬۲,…,N)ارتعاش را تعیین می‌کند. این ریشه‌های معادله مشخصه، به مقادیر نرمال، مقادیر مشخصه، یا مقادیر ویژه معروف هستند. وقتی که فرکانس طبیعی ${{\omega }_{n}}$ معلوم باشد معادله را می‌توان برای بردار نظیر ${{\phi }_{n}}$ حل نمود. مسئله مقادیر ویژه منجر به تعیین مقدار ثابتی برای دامنه مطلق بردار ${{\phi }_{n}}$نمی‌شود و فقط شکل بردار توسط مقادیر نسبی N تغییر مکان ${{\phi }_{jn}}$ (j=۱٬۲,…,N)تعیین می‌گردد. برای هر یک از N فرکانس طبیعی ${{\omega }_{n}}$یک سیستم N درجه آزادی، یک بردار مستقل ${{\phi }_{n}}$ وجود دارد که نشان دهنده شکل ارتعاشی آن مود بوده و بردار مود طبیعی ارتعاش یا شکل مود طبیعی ارتعاش نامیده می‌شود. در نتیجه برای یک سیستم N درجه آزادی،N بردار شکل مود${{\phi }_{n}}$ وجود خواهد داشت. این بردارها را، بردارهای ویژه، بردارهای مشخصه یا بردارهای مودهای نرمال نیز می‌گویند.

به‌طور خلاصه یک سیستم مرتعش N درجه آزادی، دارای N فرکانس طبیعی(n=۱٬۲,…,N)${{\omega }_{n}}$می‌باشد

که ترتیب ${{\omega }_{N}}$> … >${{\omega }_{2}}$>${{\omega }_{1}}$ برای آنها برقرار است. نظیر هر فرکانس ${{\omega }_{n}}$، یک زمان تناوب طبیعی${{T}_{n}}$ و یک بردار مود طبیعی${{\phi }_{n}}$وجود دارد. به کار بردن صفت طبیعی، برای سه کمیت فوق، تأکید بر این نکته است که این کمیات مربوط به ارتعاش آزاد سیستم می‌باشند و مقدار آنها فقط بستگی به خواص جرم و سختی سازه دارد که از کمیات ذاتی سازه هستند. زیرنویس n نشان دهنده شماره مود می‌باشد و مود اول n=۱، مود اصلی نیز نامیده می‌شود.

ماتریسهای مودی و طیفی

N مقدار ویژه، N فرکانسهای طبیعی و N بردار مود طبیعی را می‌توان در ماتریس‌هایی جاسازی نمود. بردار مود طبیعی یا بردار ویژه${{\phi }_{n}}$را که متناظر با فرکانس طبیعی ${{\omega }_{n}}$ بوده و دارای n عنصر ${{\phi }_{jn}}$ می‌باشد (j شماره درجات آزادی را می‌رساند) در نظر بگیرید. N بردار ویژه را می‌توان در یک ماتریس مربع جا داد که هر ستون آن یک مود طبیعی است:

$\Phi =\left[{{\phi }_{jn}}\right]=\left[{\begin{matrix}{{\phi }_{11}}&{{\phi }_{12}}&...&{{\phi }_{1N}}\\{{\phi }_{21}}&{{\phi }_{22}}&...&{{\phi }_{2N}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{{\phi }_{N1}}&{{\phi }_{N2}}&...&{{\phi }_{NN}}\\\end{matrix}}\right]$

در مسائل مقادیر ویژه، ماتریس $\Phi$ ، ماتریس مودی خوانده می‌شود (رابطه بالا). به علاوه N مقدار ویژه $\omega _{n}^{2}$را می‌توان در یک ماتریس قطری Ω جاسازی نمود که ماتریس طیفی نامیده می‌شود.

${{\Omega }^{2}}=\left[{\begin{matrix}\omega _{1}^{2}&{}&{}&{}\\{}&\omega _{2}^{2}&{}&{}\\{}&{}&\ddots &{}\\{}&{}&{}&\omega _{N}^{2}\\\end{matrix}}\right]$

هر مقدار ویژه و بردار ویژه، رابطه بالا را اقناع می‌کند. معادله مذکور را می‌توان به صورت زیر مرتب نمود:

$k{{\phi }_{n}}=m{{\phi }_{n}}\omega _{n}^{2}$

با استفاده از ماتریس‌های مودی و طیفی؛ می توان رابطه بالا را در شکل جامع تری به صورت ماتریسی نوشت:

$k\Phi =m\Phi {{\Omega }^{2}}$

رابطه بالا یک شکل فشرده از رابطه بین تمام مقادیر ویژه و تمام بردارهای ویژه است.

تعامد مودها

می‌توان نشان داد که مودهای طبیعی نظیر فرکانس‌های طبیعی مختلف، شرایط تعامد زیر را برآورده می‌کنند. وقتی که ${{\omega }_{n}}\neq {{\omega }_{r}}$ باشد، می‌توان نوشت:

$\phi _{n}^{T}m{{\phi }_{r}}=0,\phi _{n}^{T}k{{\phi }_{r}}=0$

خواص تعامد فوق را می‌توان به صورت زیر اثبات نمود. nامین فرکانس طبیعی و شکل مود مربوطه، رابطه بالا را اقناع می‌نمایند. حال اگر این رابطه در $\phi _{r}^{T}$ پیش ضرب می‌گردد:

$\phi _{r}^{T}k{{\phi }_{n}}=\omega _{n}^{2}\phi _{r}^{T}m{{\phi }_{n}}$

به‌طور مشابه، rامین فرکانس طبیعی و شکل مود مربوطه رابطه، بالا را اقناع می‌نماید؛ یعنی$k{{\phi }_{r}}=\omega _{r}^{2}m{{\phi }_{r}}$ می‌باشد. اگر این رابطه در $\phi _{n}^{T}$ پیش ضرب گردد، به دست می‌آید:

$\phi _{n}^{T}k{{\phi }_{r}}=\omega _{r}^{2}\phi _{n}^{T}m{{\phi }_{r}}$

بنابراین:

$\phi _{n}^{T}k{{\phi }_{r}}=\omega _{n}^{2}\phi _{n}^{T}m{{\phi }_{r}}$

در حصول رابطه فوق از خواص تقارن ماتریس‌های جرم و سختی استفاده شده است. اگر دو معادله فوق از هم کم گردد، نتیجه می‌شود:

$\left(\omega _{n}^{2}-\omega _{r}^{2}\right)\phi _{n}^{T}m{{\phi }_{r}}=0$

پس اگر $\omega _{n}^{2}\neq \omega _{r}^{2}$ باشد، طبق رابطه فوق، معادله اول سمت راست اثبات می‌شود. برای سیستم‌ها با فرکانس‌های طبیعی مثبت ، $\omega _{n}^{2}\neq \omega _{r}^{2}$ دلالت بر ${{\omega }_{n}}\neq {{\omega }_{r}}$ دارد. با قرار دادن رابطه اول سمت راست در رابطه بالایی، رابطه سمت چپ اول برای${{\omega }_{n}}\neq {{\omega }_{r}}$ ، اثبات می‌گردد.

بنابراین اثبات روابط تعامد به اتمام می‌رسد.

رابطه تعامد بین مودها با فرکانس‌های متفاوت (به عبارت دیگر${{\omega }_{n}}\neq {{\omega }_{r}}$)، برقرار گردید.

تعامد مودهای طبیعی ایجاب می‌کند که ماتریس‌های مربع زیر قطری باشند:

$M={{\Phi }^{T}}k\Phi ,K\equiv {{\Phi }^{T}}k\Phi$

که در آن عناصر قطری برابرند با:

${{M}_{n}}=\phi _{n}^{T}m{{\phi }_{n}},{{K}_{n}}=\phi _{n}^{T}k{{\phi }_{n}}$

چون m و k معین مثبت هستند، عناصر قطری Kو M نیز مثبت خواهند بود. این دو ماتریس طبق رابطه زیر به هم مربوط هستند:

${{K}_{n}}=\omega _{n}^{2}{{M}_{n}}$

صحت رابطه فوق را می‌توان با استفاده از تعاریف ماتریس‌های ${{K}_{n}}$ و${{M}_{n}}$ به صورت زیر نشان داد. با جایگذاری به دست می‌آید:

${{K}_{n}}=\phi _{n}^{T}\left(\omega _{n}^{2}m{{\phi }_{n}}\right)=\omega _{n}^{2}\left(\phi _{n}^{T}m{{\phi }_{n}}\right)=\omega _{n}^{2}{{M}_{n}}$

تفسیر تعامد مودها

در این قسمت مفهوم فیزیکی خاصیت تعامد مودها مورد بحث قرار می‌گیرد. یک نتیجه از تعامد مودها این است که کار انجام شده توسط نیروهای اینرسی مود nام به علت تغییر مکان‌های مود rام، مساوی صفر است. برای نشان دادن این نتیجه سازه ای را در نظر بگیرید که در مورد nام با تغییر مکان‌های زیر در حال ارتعاش است:

${{u}_{n}}(t)={{q}_{n}}(t){{\phi }_{n}}$

شتاب نظیر تغییر مکانهای فوق مساوی ${{\ddot {u}}_{n}}(t)={{\ddot {q}}_{n}}(t){{\phi }_{n}}$ و نیروهای اینرسی نظیر آن برابر است با:

${{\left({{f}_{I}}\right)}_{n}}=-m{{\ddot {u}}_{n}}(t)=-m{{\phi }_{n}}{{\ddot {q}}_{n}}(t)$

حال تغییر مکان‌های سازه در مود طبیعیr ام مورد توجه قرار می‌گیرد:

${{u}_{r}}(t)={{q}_{r}}(t){{\phi }_{r}}$

کار انجام شده توسط نیروهای اینرسی به علت تغییر مکان‌های رابطه بالا برابر است با:

${{\left({{f}_{I}}\right)}_{n}}^{T}{{u}_{r}}=-\left(\phi _{n}^{T}m{{\phi }_{r}}\right){{\ddot {q}}_{n}}(t){{q}_{r}}(t)$

با توجه به معادله تعامد دست راست، عبارت فوق مساوی صفر است.

بدین ترتیب اثبات رابطه به انجام می‌رسد.

تفسیر دیگر از خاصیت تعامد مودها بدین قرار است که کار انجام شده توسط نیروهای استاتیکی نظیر تغییر مکان‌های مود n ام به علت تغییر مکان‌های مودr ام مساوی صفر است. نیروهای معادل استاتیکی برابرند با:

${{\left({{f}_{S}}\right)}_{n}}=k{{u}_{n}}(t)=k{{\phi }_{n}}{{q}_{n}}(t)$

کار انجام شده توسط نیروهای فوق به علت تغییر مکان رابطه بالا برابر است با:

$\left({{f}_{S}}\right)_{n}^{T}{{u}_{r}}=\left(\phi _{n}^{T}k{{\phi }_{r}}\right){{q}_{n}}(t){{q}_{r}}(t)$

به علت معادله تعامد سمت چپ، مقدار فوق مساوی صفر است.

همپایه کردن مودها

همان‌طور که در قبل ذکر شد، مسئله مقادیر ویژه، مقادیر نسبی مودهای طبیعی را به دست می‌دهد و مقادیر مطلق شکل مودها قابل تعیین نیست اگر بردار${{\phi }_{n}}$ یک مود طبیعی باشد، هر بردار متناسب با${{\phi }_{n}}$ نیز رابطه $k{{\phi }_{n}}=m{{\phi }_{n}}\omega _{n}^{2}$را اقناع نموده و در نتیجه همان مود طبیعی خواهد بود. با توجه به این حقیقت، غالباً در یک مود ارتعاشی، مقدار یکی از عناصر بردار${{\phi }_{n}}$ مساوی واحد انتخاب شده، و باقی عناصر با آن متناسب می‌گردد به این عمل همپایه کردن (نرمال کردن) می‌گویند.

برای همپایه کردن، اغلب بزرگ‌ترین عنصر یک بردار مود را مساوی واحد در نظر می‌گیرند و باقی عناصر را بر حسب آن تعیین می‌نمایند. گاهی مواقع عنصر متعلق به یک درجه آزادی خاص مثلاً تغییر مکان بام واحد اختیار می‌گردد در بحث‌های نظری و برنامه‌های کامپیوتری، همپایه کردن مودها طوری انجام می‌شود که مقدار مساوی واحد گردد. در این حالت داریم:

${{\Phi }^{T}}m\Phi =I,{{M}_{n}}=\phi _{n}^{T}m{{\phi }_{n}}=1$

که در آن I ماتریس یکه، یعنی ماتریسی قطری که تمام عناصر قطری آن مساوی واحد است می‌باشد. رابطه بالا هم خاصیت تعامد مودها را نشان می‌دهد و هم بدین معناست که نسبت به m همپایه شده است. در این حالت به آنها یک مجموعه ارتونرمال (متعامدهمپایه شده) گویند. وقتی که مودها به این روش همپایه شوند روابط به صورت زیر در می‌آیند:

$K={{\Phi }^{T}}k\Phi ={{\Omega }^{2}},{{K}_{n}}=\phi _{n}^{T}k{{\phi }_{n}}=\omega _{n}^{2}{{M}_{n}}=\omega _{n}^{2}$

تجزیه یک تغییر شکل دلخواه به اشکال مودی (انبساط مودی تغییر شکل)

هر بردار از مرتبه N را می‌توان به صورت ترکیبی از چند بردار مستقل از مرتبه N نوشت. در این قسمت هدف این است که هر بردار تغییر مکان دلخواه u را به صورت ترکیبی از بردار مودی بنویسیم. برای این کار داریم:

$u=\sum \limits _{r=1}^{N}{{{\phi }_{r}}{{q}_{r}}}=\Phi q$

که در آن ${{q}_{r}}$ یک ضریب اسکالر می‌باشد که مختصه‌های مودی یا مختصه‌های همپایه نامیده می‌شوند. با پیش ضرب دو طرف معادله فوق در $\phi _{n}^{T}m$ به دست می‌آید:

$\phi _{n}^{T}mu=\sum \limits _{r=1}^{N}{(\phi _{n}^{T}m{{\phi }_{r}}}){{q}_{r}}$

با استفاده از رابطه تعامد، تمام جملات رابطه فوق به استثنای حالتی که r = n می‌باشند، حذف می‌شوند:

$(\phi _{n}^{T}m{{\phi }_{n}}){{q}_{n}}$=$\phi _{n}^{T}mu$

که از آن می‌توان نوشت:

${{q}_{n}}={\frac {\phi _{n}^{T}mu}{\phi _{n}^{T}m{{\phi }_{n}}}}={\frac {\phi _{n}^{T}mu}{{M}_{n}}}$

از تکنیک فوق برای حصول حل ارتعاش آزاد سیستمهای نامیرا استفاده می‌شود. این تکنیک نقش محوری در تحلیل سیستمهای تحت تأثیر نیروهای خارجی و زلزله دارد.

قسمت دوم: پاسخ ارتعاش آزاد

حل معادلات ارتعاش آزاد سیستم‌های نامیرا

حال مجدداً به مسئله مطرح شده بر می‌گردیم و حل آن را تعیین می‌کنیم. معادله دیفرانسیلی که باید حل گردد، منجر به مسئله مقادیر ویژه شده است. با این فرض که مسئله مقادیر ویژه برای فرکانس‌ها و مودهای طبیعی حل شده، حل عمومی از جمع آثار پاسخ مودهای مجزا به دست می‌آید:

$u(t)=\sum \limits _{n=1}^{N}{{{\phi }_{n}}({{A}_{n}}\cos {{\omega }_{n}}t+{{B}_{n}}\sin {{\omega }_{n}}t)}$

ضرایب ${{A}_{n}}$ و${{B}_{n}}$ و$2N$ ثابت انتگرال‌گیری می‌باشند برای تعیین این ثابت‌ها، باید روابط بردار سرعت نیز معلوم باشند، داریم:

${\dot {u}}(t)=\sum \limits _{n=1}^{N}{{{\phi }_{n}}{{\omega }_{n}}(-{{A}_{n}}\sin {{\omega }_{n}}t+{{B}_{n}}\cos {{\omega }_{n}}t)}$

با قرار دادن t = ۰ در روابط بالا به دست می‌آید:

${\dot {u}}(0)=\sum \limits _{n=1}^{N}{{{\phi }_{n}}{{\omega }_{n}}{{B}_{n}}},u(0)=\sum \limits _{n=1}^{N}{{{\phi }_{n}}{{A}_{n}}}$

با تغییر مکانهای اولیه$u(0)$و سرعتهای اولیه ${\dot {u}}(0)$ معلوم، هر یک از دو معادله فوق، N معادله جبری برای تعیین ثابتهای ${{A}_{n}}$ و${{B}_{n}}$ به دست می‌دهد. حل همزمان این معادلات لازم نیست، زیرا آنها را می‌توان به صورت تجزیه مودی بردارهای$u(0)$ و${\dot {u}}(0)$ تفسیر نمود.

می‌توان نوشت:

${\dot {u}}(0)=\sum \limits _{n=1}^{N}{{{\phi }_{n}}{{\dot {q}}_{n}}}(0),u(0)=\sum \limits _{n=1}^{N}{{{\phi }_{n}}{{q}_{n}}}(0)$

با تشبیه به رابطه بالا،${{q}_{n}(0)}$ و ${{\dot {q}}_{n}}(0)$ از روابط زیر تعیین می‌گردند:

${{\dot {q}}_{n}}(0)={\frac {\phi _{n}^{T}m{\dot {u}}(0)}{{M}_{n}}},{{q}_{n}}(0)={\frac {\phi _{n}^{T}mu(0)}{{M}_{n}}}$

از آنها می‌توان نتیجه‌گیری نمود:

${{B}_{n}}={\frac {{{\dot {q}}_{n}}(0)}{{\omega }_{n}}},{{A}_{n}}={{q}_{n}}(0)$

با قرار دادن این مقادیر، به دست می‌آید:

$u(t)=\sum \limits _{n=1}^{N}{{{\phi }_{n}}({{q}_{n}}(0)\cos {{\omega }_{n}}t+{\frac {{{\dot {q}}_{n}}(0)}{{\omega }_{n}}}\sin {{\omega }_{n}}t)}$

یا به عبارت دیگر:

$u(t)={{\phi }_{n}}{{q}_{n}}(t)$

که در آن:

${{q}_{n}}(t)={{q}_{n}}(0)\cos {{\omega }_{n}}t+{\frac {{{\dot {q}}_{n}}(0)}{{\omega }_{n}}}\sin {{\omega }_{n}}t$

معادلات فوق تغییرات زمانی مختصه‌های مودی هستند که مشابه پاسخ ارتعاش آزاد سیستم‌های یک درجه آزادی می‌باشند رابطهu(t) حل مسئله ارتعاش آزاد است. این رابطه تغییر مکان u را به صورت تابعی از زمان به علت تغییر مکان اولیه u(0) و سرعت اولی${\dot {u}}(0)$ به دست می‌دهد.

ارتعاش آزاد سیستم‌های میرا

در صورت وجود میرایی، معادله حاکم بر ارتعاش آزاد سیستم، رابطه p(t)=۰ می‌باشد:

$m{\ddot {u}}+c{\dot {u}}+ku=0$

می‌خواهیم حل u(t) را برای رابطه فوق طوری تعیین نماییم که شرایط اولیه زیر در t=۰ اقناع گردد:

${\dot {u}}={\dot {u}}(0),u=u(0)$

تغییر مکان u بر حسب مودهای طبیعی سیستم نامیرا بیان می‌گردد. نتیجه می‌شود:

$m\Phi {\ddot {q}}+c\Phi {\dot {q}}+k\Phi q=0$

پیش ضرب رابطه فوق در${{\phi }^{T}}$، نتیجه می‌دهد:

$M{\ddot {q}}+C{\dot {q}}+Kq=0$

که در آن ماتریس‌های قطری M و K قبلاً تعریف شده‌اند و:

$C={{\Phi }^{T}}c\Phi$

بر حسب توزیع میرایی در سازه ماتریس مربع c می‌تواند قطری یا غیر قطری باشد. اگر C قطری باشد رابطه بالا،N معادله دیفرانسیل غیر همبسته را برای مختصه‌های مودی ${{q}_{n}}$ بدست می‌دهد و گفته می‌شود که سیستم دارای میرایی کلاسیک است. علت این نامگذاری از آن جهت است که مدل‌های تحلیل کلاسیک برای حل این سیستم‌ها قابل استفاده هستند. مودهای ارتعاشی چنین سیستمی مشابه مودهای سیستم نامیر است. سیستم‌هایی که ماتریس c آنها غیر قطری است، گفته می‌شود که دارای میرایی غیر کلاسیک هستند. استفاده از تحلیل‌های کلاسیک برای حل این سیستم‌ها ممکن نیست و مودهای ارتعاشی طبیعی آنها مشابه سیستم‌های نامیرا نمی‌باشد.

سیستم‌ها با میرایی کلاسیک

برای سیستم N درجه آزادی با میرایی کلاسیک، هر یک از N معادله دیفرانسیل در مختصات مودی برابرند با:

${{M}_{n}}{{\ddot {q}}_{n}}+C{{\dot {q}}_{n}}+{{K}_{n}}{{q}_{n}}=0$

که در آن ماتریس‌های ${{M}_{n}}$ و ${{K}_{n}}$قبلاً تعریف شده‌اند و:

${{C}_{n}}=\phi _{n}^{T}c{{\phi }_{n}}$

بنابراین نسبت میرایی را برای هر مود می‌توان به روشی مشابه قبل (برای سیستم یک درجه آزادی) تعریف نمود:

${{\zeta }_{n}}={\frac {{C}_{n}}{2{{M}_{n}}{{\omega }_{n}}}}$

حل معادلات ارتعاش آزاد: سیستم‌ها با میرایی کلاسیک

در این قسمت حل کلاسیک ارتعاش آزاد سیستم‌ها با میرایی کلاسیک به علت تغییر مکان یا سرعت اولیه ارائه می‌شود. در میرایی کلاسیک مودهای طبیعی تحت تأثیر میرایی قرار ندارند؛ بنابراین فرکانس‌های طبیعی و مودهای طبیعی ابتدا برای سیستم بدون میرایی محاسبه می‌شوند. سپس اثر میرایی بر فرکانس طبیعی به روشی مشابه سیستم یک درجه آزادی مورد توجه قرار می‌گیرد. این موضوع از تقسیم رابطه ${{M}_{n}}{{\ddot {q}}_{n}}+C{{\dot {q}}_{n}}+{{K}_{n}}{{q}_{n}}=0$ بر ${{M}_{n}}$ آشکار می‌شود:

${{\ddot {q}}_{n}}+2{{\zeta }_{n}}{{\omega }_{n}}{{\dot {q}}_{n}}+{{\omega }_{n}}^{2}{{q}_{n}}=0$

با تنظیم نتایج، حل رابطه بالا به صورت زیر در می‌آید:

${{q}_{n}}(t)={{e}^{-{{\zeta }_{n}}{{\omega }_{n}}t}}({{q}_{n}}(0)\cos {{\omega }_{nD}}t+{\frac {{{\dot {q}}_{n}}(0)+{{\zeta }_{n}}{{\omega }_{n}}{{q}_{n}}(0)}{{\omega }_{nD}}}\sin {{\omega }_{nD}}t)$

که در آن n امین فرکانس طبیعی میرا طبق رابطه زیر تعریف می‌شود:

${{\omega }_{nD}}={{\omega }_{n}}{\sqrt {1-{{\zeta }_{n}}^{2}}}$

با قرار دادن${{q}_{n}}(t)$از رابطه بالا، پاسخ تغییر شکلی سیستم تعیین می‌گردد:

$u(t)=\sum \limits _{n=1}^{N}{{{\phi }_{n}}{{e}^{-{{\zeta }_{n}}{{\omega }_{n}}t}}\left[{{q}_{n}}(0)\cos {{\omega }_{nD}}t+{\frac {{{\dot {q}}_{n}}(0)+{{\zeta }_{n}}{{\omega }_{n}}{{q}_{n}}(0)}{{\omega }_{nD}}}\sin {{\omega }_{nD}}t\right]}$

معادله فوق حل مسئله ارتعاش آزاد سیستم‌های چند درجه آزادی با میرایی کلاسیک می‌باشد. این رابطه، تغییر مکان u را به صورت تابعی از زمان به علت تغییر مکان اولیه (0)u و سرعت ${\dot {u}}(0)$ تعریف می‌نماید. با این فرض که فرکانس طبیعی${{\omega }_{n}}$ و مود شکل ${{\phi }_{n}}$ سیستم نامیرا به همراه نسبت میرایی مودی ${{\zeta }_{n}}$ در دست است، با ${{q}_{n}(0)}$ و ${{\dot {q}}_{n}}(0)$ تعریف شده، طرف راست معادله بالا معلوم خواهد بود.

میرایی بر فرکانس‌ها و زمان‌های تناوب ارتعاش سیستم چند درجه آزادی مطابق رابطه ${{\omega }_{nD}}={{\omega }_{n}}{\sqrt {1-{{\zeta }_{n}}^{2}}}$ اثر می‌گذارد که مشابه برای سیستم یک درجه آزادی است؛ بنابراین برای نسبت‌های میرایی کمتر از ۲۰ درصد، اثر میرایی بر فرکانس‌ها و زمانهای تناوب طبیعی سیستم چند درجه آزادی قابل اغماض است. اغلب سازه‌های واقعی دارای نسبت میرایی کمتر از ۲۰ درصد می‌باشند.

همانند سیستم یک درجه آزادی، دامنه نوسانات هر مود سیستم چند درجه آزادی، بر حسب نسبت میرایی ${{\zeta }_{n}}$ آن مود، مستهلک می‌شود. نسبت دامنه دو نوسان که به فاصله j سیکل از هم قرار دارند، قابل محاسبه است. می‌توان به کمک آزمایش، نسبت میرایی هر مود سیستم چند درجه آزادی را تعیین نمود. مشکل کار اعمال تغییر شکل اولیه متناسب با مود مورد نظر است. این مشکل برای مود اول کمتر است، چون مودهای از درجه بالاتر، زودتر مستهلک شده و پس از گذشت مدتی از شروع ارتعاش آزاد می‌توان انتظار داشت که ارتعاش برجا مانده، ارتعاش در مود اول یا مود اصلی است.

منابع

Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering,by Anil K. Chopra

دینامیک سازه‌ها و تعیین نیروهای زلزله (تئوری و کاربرد در مهندسی زلزله)/ [مؤلف آنیل چوپرا]؛ مترجم شاپور طاحونی.

Tustin, Wayne. Where to place the control accelerometer: one of the most critical decisions in developing random vibration tests also is the most neglected, EE-Evaluation Engineering, 2006

https://eletiofe.com/wp-content/uploads/2019/07/OM_InFocus_2007_01_US.pdf

Tony Araujo. The evolution of automotive vibration fixturing, EE-Evaluation Engineering, 2019

Blanks, H.S. , "Equivalence Techniques for Vibration Testing," SVIC Notes, pp 17.

Araujo, T. and Yao, B. , "Vibration Fixture Performance Qualification – A Review of Automotive Industry Best Practices," SAE Technical Paper 2020-01-1065, 2020, https://doi.org/10.4271/2020-01-1065.

Crawford, Art; Simplified Handbook of Vibration Analysis

Eshleman, R 1999, Basic machinery vibrations: An introduction to machine testing, analysis, and monitoring

https://rms-reliability.com/vibration/vibration-analysis-in-maintenance/

Computer Aided Graphing and Simulation Tools for AutoCAD Users,ISBN 978-1-4822-5290-3

Maia, Silva. Theoretical And Experimental Modal Analysis, Research Studies Press Ltd. , 1997,, شابک ‎۰−۴۷۱−۹۷۰۶۷−۰