آهنگ خرابی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

آهنگ خرابی (به انگلیسی: Failure rate) میزانی برای سنجیدن خرابی یک سیستم یا مولفه ی مهندسی است،که اغلب بوسیله ی حرف یونانی λ (لاندا) نشان داده می شود.

آهنگ خرابی یک سیستم معمولاً به زمان چرخه حیات آن سیستم بستگی دارد. به عنوان مثال آهنگ خرابی یک اتومبیل در پنجمین سال کارکرد آن ممکن است بسیار بیشتر از آهنگ خرابی آن در سال اول کارکرد آن باشد.

درعمل میانگین زمان بین خرابی اغلب به جای آهنگ خرابی به کار می رود. این عمل در صورتی صحیح و قابل استفاده است که آهنگ خرابی ثابت باشد.

تابع آهنگ خرابی[ویرایش]

تابع آهنگ خرابی برای توزیع نمایی

تعداد کل شکست ها (خرابی ها) برای یک جمعیت، تقسیم بر مجموع مدت زمان صرف شده توسط این جمعیت، در طول یک بازه اندازه گیری خاص تحت شرایط معین.

همچنین آهنگ خرابی \lambda (t) را می توان احتمال رخ دادن خرابی در یک بازه ی زمانی مشخص، که قبل از زمان t بدون خرابی بوده است، دانست.

آهنگ خرابی در اصل یک احتمال نیست، زیرا مقدار آن می تواند از یک فراتر رود، پس بیان کردن آن به درصد اشتباه خواهد بود، بخصوص اگر آهنگ خرابی ما متغیر باشد.

به همین دلیل تابع آهنگ خرابی بصورت زیر تعریف می شود

فرض می کنیم متغیر تصادفی X غیر منفی است که طول عمر قطعه ( یا سیستم ) را با تابع چگالی f_X (t) و تابع توزیع تجمعی F_X (t) نشان می دهد. آنگاه تابع آهنگ خرابی \lambda_X (t) ، احتمال پیشامد آن که قطعه یا سیستم تا زمان t خراب نشده باشد و در بازه ی زمانی (t , t+dt) خراب شود را نشان می‌دهد

\lambda_X (t) \, dt=  \text{P} \left\{ X \in (t , t+dt) | X>t \right\} = \frac{ \text{P}\{X \in (t,t+dt) \cap X>t\}}{\text{P}\{X>t\}} = \frac{\text{P}\{X \in (t,t+dt)\}}{\text{P}\{X>t\}} = \frac{f_X(t)dt}{1-F_X(t)}

در نتیجه تابع آهنگ خرابی تعریف می‌شود

\lambda_X(t) \triangleq \frac{f_X(t)}{1-F_X(t)}

بسیاری از توابع احتمال را می توان برای مدل کردن آهنگ خرابی به کار برد. رایج ترین این توابع، تابع توزیع نمایی است :

\lambda_X(t)= \frac{f_X(t)}{1-F_X(t)} = \frac{\lambda e^{-\lambda t}}{e^{-\lambda t}} = \lambda

باید توجه داشت که با در اختیار داشتن تابع آهنگ خرابی می توان تابع چگالی احتمال و توزیع تجمعی را محاسبه کرد

F_X(x) = 1-e^{-\int_{0}^x \lambda_X(t)\,dt}

f_X(x)=\frac{dF_X(x)}{dx}

مثال[ویرایش]

فرض کنیم آهنگ مرگ و میر افراد سیگاری در هر زمان دو برابر آهنگ مرگ و میر افراد غیر سیگاری است. اگر یک شخص سیگاری و یک شخص غیر سیگاری a سال عمر کرده باشند، احتمال اینکه فرد غیر سیگاری b سال عمر کنند چند برابر آن است که فرد سیگاری b سال عمر کنند ؟

فرض کنیم L_k^s پیشامد آن باشد که فرد سیگاری  k سال عمر کند و   L_k^{ns} پیشامد آن باشد که فرد غیر سیگاری  k سال عمر کند


\text{P} (L_b^s | L_a^s)=\frac{\text{P}(L_b^s \cap L_a^s)}{\text{P}(L_a^s)}=\frac{\text{P}(L_b^s)}{\text{P}(L_a^s)}=\frac{1-F_{X,s}(b)}{1-F_{X,s}(a)}= e^{-\int_{a}^b \lambda_{X,s}(t)\,dt}

که  F_{X,s}(x) تابع چگالی توزیع جمعی طول عمر فرد سیگار و  \lambda_{X,s}(t) تابع آهنگ مرگ و میر فرد سیگاری است. بطور مشابه

\text{P}(L_b^{ns} | L_a^{ns})=e^{-\int_{a}^b \lambda_{X,ns}(t)\,dt}

که  \lambda_{X,ns}(t) تابع آهنگ مرگ و میر فرد غیر سیگاری است. می دانیم که

\lambda_{X,s}(t)=2 \lambda_{X,ns}(t)

در نتیجه


P(L_b^{ns} | L_a^{ns})=e^{-\int_{a}^b \lambda_{X,ns}(t)\,dt}=e^{-\int_{a}^b \frac{1}{2}\lambda_{X,s}(t)\,dt}=\left(e^{-\int_{a}^b \lambda_{X,s}(t)\,dt}\right)^{ \frac{1}{2}}=\left(\text{P}(L_b^s|L_a^s)\right)^{\frac{1}{2}}

پس می توان نتیجه گرفت احتمال مردن برای فرد سیگاری توان دوم احتمال مردن برای فرد غیر سیگاری است [۱].

منابع[ویرایش]

  1. S. Ross, A First Course In Probability, 8th Edition, Pearson, 2009