گشتاور اول سطح

گشتاور نخست سطح (به انگلیسی: first moment of area)‏ که گاهی به اشتباه گشتاور نخست اینرسی (به انگلیسی: first moment of inertia)‏ نیز نامیده می‌شود، مبحثی از ریاضیات بوده و حکایت از این دارد که گشتاور هر سطحی، برابر با مجموع فواصل از یک محور است [Σ(a x d)]. از ممان اول سطح، برای اندازه‌گیری میزان توزیع سطح، نسبت به یک محور استفاده می‌شود.

در کارهای مهندسی، معمولا از گشتاور اول سطح، برای تعیین مرکز جرم یا گشتاور ایستایی سطح بهره می‌برند.

تعریف

سطحی به مساحت A داده شده‌است که این سطح را به n المان سطح بی‌نهایت کوچک تقسیم کرده‌ایم (dA_i). فاصله (مختصات) هر یک از این المان سطح‌ها را از محورهای مختصات x-y، برابر x_i و y_i در نظر می‌گیریم. حال، لنگر اول سطح در جهت‌های x و y، به ترتیب زیر به دست می‌آیند:

$M_x = A \bar y = \sum_{i=1}^n {y_i \,dA_i} = \int_A y dA$

و

$M_y = A \bar x = \sum_{i=1}^n {x_i \,dA_i} = \int_A x dA$

در سیستم واحدهای SI، گشتاور نخست سطح را با واحد متر به توان سه نشان می‌دهند (m³). در سیستم واحدهای آمریکا و سیستم گرانشی نیز پا به توان سه (ft³) و در اغلب اوقات، اینچ مکعب (inch³) را به عنوان واحد، انتخاب می‌کنند.

گشتاور استاتیک سطح

گشتاور استاتیک سطح (به انگلیسی: statical moment of area)‏، خاصیتی از یک جسم است که برای تخمین مقاومت آن جسم در برابر تنش برشی، از آن استفاده می‌شود. گشتاور استاتیک سطح را با Q نشان داده و از رابطه زیر به دست می‌آورند:

$Q_{j,x} = \int y_i dA$

در رابطه بالا،

• Q_j,x برابر لنگر نخست سطح "j" حول تار خنثای x کل سطح (نه تار خنثای سطح "j")؛
• dA برابر المان سطح پهنه "j"؛
• y برابر فاصله عمودی المان dA از تار خنثای x

است.

تنش برشی در یک سازه نیمه تخم‌مرغی

معادله جریان برش در مقطع عرضی جان یک سازه نیمه تخم‌مرغی به شکل زیر خواهد بود:

$q = \frac{V_y Q_x}{I_x}$

• q: جریان برش در مقطع عرضی جان
• V_y: نیروی برشی عمود بر تار خنثای x در کل مقطع
• Q_x: لنگر اول سطح، حول محور خنثای x در مقطع عرضی جان
• I_x: لنگر دوم سطح، حول محور خنثای x در کل مقطع

حال، تنش برشی را می‌توان از رابطه پایینی حساب کرد:

${\tau} = \frac{q}{t}$

• ${\tau}$: تنش برشی در مقطع عرضی جان
• q: جریان برشی در مقطع عرضی جان
• t: ضخامت (متوسط) مقطع عرضی جان

جستارهای وابسته

• لنگر دوم سطح
• لنگر قطبی اینرسی

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «First moment of area»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۲ دسامبر ۲۰۱۱).