چندجمله‌ای‌های متعامد

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

چندجمله‌ای‌های متعامد (Orthogonal polynomials) به دنباله‌هایی نامتناهی متشکل از چندجمله‌ای‌های حقیقی عمود بر هم اطلاق می‌شود. در فضاهای برداری گوناگون، شکل گیری مفاهیم هندسی از قبیل طول (نرم)، زاویه، و تعامد از چگونگی تعیین و تعریف ضرب داخلی بردارها در آن جا آغاز می‌شود.

تاریخچه[ویرایش]

مطالعات مربوط به چندجمله‌ای‌های متعامد از اواخر قرن نوزدهم (م) آغاز گردید.

تعریف[ویرایش]

بازهٔ بستهٔ [x_1, x_2] و توابع چندجمله‌ای f و g را بر روی آن در نظر می‌گیریم. ضرب داخلی این دو چندجمله‌ای را می‌شود به صورت زیر در نظر گرفت:

\langle f, g \rangle = \int_{x_1}^{x_2} f(x) g(x) \; dx.

توابع چندجمله‌ای f و g را متعامد می‌نامیم چنانچه \langle f,  g \rangle = 0 باشد.

مثال[ویرایش]

چندجمله‌ای‌های لژاندر[ویرایش]

نوشتار اصلی: چندجمله‌ای‌های لژاندر

چندجمله‌ای‌های لژاندر به مفهوم بالا، در بازه [۱٫۱-] و برای تابع وزن ۱ بر یکدیگر عمود هستند.

P_0(x) = 1,\,
P_1(x) = x,\,
P_2(x) = \frac{3x^2-1}{2},\,
P_3(x) = \frac{5x^3-3x}{2},\,
P_4(x) = \frac{35x^4-30x^2+3}{8},\,
\vdots

همگی این چندجمله‌ای‌ها دو به دو متعامد هستند، وقتی که از هم متمایز باشند (m \ne n).

\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x) \, dx = 0.

هماهنگ‌های کروی[ویرایش]

نوشتار اصلی: هماهنگ‌های کروی