پلانی‌متر

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
(تغییرمسیر از پلانی متر)
پرش به: ناوبری، جستجو
' مساحت سنج (۱۹۰۸) اندازه گیری مساحت مشخص با ردیابی محیط آن
پلانی متر امسلر

پلانی متر(به انگلیسی: Planimeter) (که به آن پلاتو متر نیز گفته می‌شود) یک وسیله اندازه گیری است که برای تعیین مساحت یک شکل دو بعدی دلخواه استفاده می‌شود. ساختمان دستگاه چند نوع دستگاه مساحت سنج وجود دارد اما تمام اینها به یک روش عمل می کنند روش دقیقی که این دستگاهها ساخته شده اند متفاوت است. نوع اصلی این دستگاه که مکانیکی است ممکن است پلار (قطبی)خطی و یا نوک تیز باشد. ریاضی دان سوییسی به نامjakobamsler-laffonمساحت سنج را در سال 1854ساخت که بر اساس نظرmartinhermanjohann در سال1814 بود. بعد از ساخت اولین مساحت سنج مساحت سنج های تکامل یافته دیگری ساخته شدند که امروزه نوع الکترونیک آن وجود دارد .

  نمونه پلانی متر قطبی
  پلانی متر قطبی

در دستگاه های مساحت سنج یک بازوی رابط با یک سوزن نقطه گذار در یک طرف قرار دارد که بر اثر حرکت در اطراف شکل مورد نظر علائمی را به جا میگذارد . در قسمت دیگر دستگاه بازویی قرار گرفته که در مساحت سنج قطبی منحصراً به صورت خطی عمل میکند . در این دستگاه وقتی که یک بازو در اطراف سطح مورد نظر حرکت می کند در قسمت دیگر دستگاه مساحت شکل مورد نظر مشخص میشود این دستگاه دارای یک چرخ است که همراه با حرکت قسمت نقطه گذار دستگاه شمارش میکند . زمانی که چرخ دستگاه به صورت عمود بر محور حرکت میکند می چرخد و این حرکت ثبتمیشود.زمانی که چرخ دستگاه موازی محور خود حرکت می کند چرخ ها لیز می خورند و نمی‌چرخند و این حرکت ثبت نمی‌شود .این بدین معنی است که در دستگاه مساحت سنج هر مسیری که چرخ آن حرکت می کند اندازه گیری می شود . در واقع حرکت های عمود بر محور چرخش تعیین کننده مساحت توسط دستگاه است . مساحت شکل متناسب است با تعداد دفعاتی که چرخ دستگاه چرخش می کند .

یک نوع پلانی متر خطی برای تعیین مساحت شکل های کشیده

پیشرفت دستگاه می تواند بر استقرار موقعیت اولین نقطه سطح ( مرکز سطح ) و حتی بر دومین نقطه اثر بگذارد . در تصاویر مساحت سنجخطی و قطبی دیده می شود .

مساحت سنج خطی
مساحت سنج قطبی

نقطه ی M ) ) در یک طرف دستگاه مساحت سنج نقطه ی ( C ) و شمارش گر سطح S))را دنبال می کند تا به نقطه ی آخر برسد . در مساحت سنج خطی حرکت بازوی (E) منحصراً روی محور y است. در مساحت سنج قطبی بازو به بازوی دیگری متصل است که در نقطه ی آخر یعنیO متصل می شود . اتصال به بازویME همان اندازه گیری چرخ است که چرخ دور محور خودش به موازاتMEحرکت کرده است و این باعث می شود چرخ لیز بخورد بدون محاسبه ی سطح .

اساس کار مساحت سنج خطی کار یک مساحت سنج خطی بر اساس اندازه گیری یکمستطیل ABCDدر تصویر توضیح داده می شود .

اساس کار مساحت سنج خطی

حرکت قسمت علامت گذار از نقطه ی A به B بازوی ME در ضمن صفحه ی زرد رنگ حرکت می کند . مساحتی مساوی با PQ × EM محاسبه می شود. این مساحت مساوی است با مساحت صفحه ی A"ABB" . چرخدستگاه فاصله ی بینPQ را اندازه گیری می کند کهعمود بر EM است. با حرکت از نقطه یC به DبازویEM در ضمن صفحه ی سبز رنگ حرکت می کند . (مساحتی مساوی با سطح مستطیلD"DCC.) چرخ دستگاه در جهت عکس حرکت می کند و سطح محاسبه شده را از سطح قبلی کسر می کند . نتیجه ی نهایی اندازه گیری بین سطح زرد و سبز می باشد که در واقع اندازه مستطیلABCDاست . که در واقع حرکت در طولBC و DA است . هر دو اندازه یکی هستند اما در جهت مخالف که حرکت چرخ آنها را حذفمی نماید.

محاسبات ریاضی عملکرد یک پلانی متر خطی می تواند توسط به کار گیری تئوریGreen's روی اجزای بردار سطحN توجیه شود. داریم :

جایی که b هم پایه ی yاست در زانویی E این بردار سطح عمود بر بازوی اندازه گیری EM است :

و اندازه ثابتی دارد برابر طول mاز بازوی اندازه گیری:

سپس:

زیرا :

سمت چپ تساوی بالا که مساوی مساحتسطح بسته ی A بوسیله ی خطوط خارجی است طول بازوی اندازه گیری شده متناسب است با فاصله ی اندازه گیری شده با اندازه گیری چرخشی و با فاکتور نسبی m مختصات قطبی ارتباط تئوری Green's در ترم های منسجم مختصات قطبی می تواند فهمیده شود در مختصات قطبی بازو توسط انتگرال تولید می شود و جایی که شکل کامل میشود معادله ی درجه دومی بعنوان ضریب rوجود دارد به این معنا که به ازا زوایای مختلف نسبت مساحتی که تغییر می کند با توان دوم زوایا در شعاع متناسب است. برای یک تساوی پارامتریک در مختصات قطبی جایی کهr و θتابعی از زمان هستند داریم :

چرخیدن پلانی متر برای هر چرخی که در انتهای خط ثابت شده و حول آن می چرخد به ترتیب با هر نقطه ی چرخش نهایی چرخ متناسب است با انتگرال و متناسب است با مسافت طی شده در هر نقطه که در هر زمان به شعاع بستگی دارد ودر اطراف دایره با زاویه تغییر میکند .

 این ضرب داخلی را با مشتق گرفتن از انتگرال اولیه  می توان بدست آورد که نشان می دهد یک پلانی متر سطح انتگرال را تولید میکندکه طبق تئوری Green'sانتگرال خطی یک تابع درجه یک تا درجه دوی معین است

اصل پلانی متر خطی[ویرایش]

اصل پلانی متر خطی

می‌توان طرز کار پلانی متر خطی را با اندازه گیری مساحت مستطیل ABCD توضیح داد (تصویر را ببینید). حین حرکت اشاره گر از A به B بازوی EM روی متوازی‌الأضلاع زرد با مساحتی برابر PQ*ME حرکت می‌کند. این مساحت همچنین با مساحت متوازی‌الأضلاع A"ABB" برابر است. دور شمار فاصله PQ را اندازه گیری می‌کند (عمود بر EM). در حرکت از C به D بازوی EM متوازی الضلاع سبز را طی می‌کند که مساحتی برابر با مساحت مستطیل D"DCC" دارد. حالا دور شمار در جهت عکس حرکت می‌کند (کم کردن این مقدار از مقدار قبلی). نتیجه نهایی اندازه گیری اختلاف مساحت متوازی‌الأضلاع زرد و سبز که همان ناحیهٔ ABCD است، می‌باشد. همچنین حرکتی در طول BC و DA وجود دارد اما چون برابر و در خلاف جهت هم اند، یکدیگر را در خواندن عدد گردنده خنثی می‌کنند.

منشا ریاضی[ویرایش]

عملکرد پلانی متر خطی با استفاده از قضیهٔ گرین بر روی اجزای میدان برداری N توجیه می‌شود. توسط:

\!\,N(x,y)=(b-y,x),

جایی که b مختصات جهت y از زانوی E است. این میدان برداری بر بازوی اندازه گیری EM عمود است:

\vec{EM}\cdot N = xN_x+(y-b)N_y=0

و دارای اندازه ثابتی برابر با طول m از بازوی اندازه گیری است:

\!\,\|N\| =\sqrt{(b-y)^2+x^2}=m

بنابر این:

\oint_C(N_xdx + N_ydy) = \iint_S\left(\frac{\partial N_y}{\partial x}-\frac{\partial N_x}{\partial y}\right)dxdy =
=\iint_S\left(\frac{\partial x}{\partial x}-\frac{\partial (b-y)}{\partial y}\right)dxdy = \iint_S dxdy = A,

چون:

\frac{\partial}{\partial y}(y-b) = \frac{\partial}{\partial y}\sqrt{m^2-x^2} = 0,

طرف چپ تساوی بالا، که با ناحیهٔ احاطه شده توسط منحنی بسته (A)برابر است، با فاصله اندازه گیری شده توسط گردنده اندازه گیری متناسب است(با فاکتور تناسب m-طول بازوی اندازه گیری.)

مختصات قطبی[ویرایش]

ارتباط با قضیه گرین از دیدگاه یکپارچه سازی در دستگاه مختصات قطبی قابل درک است. در دستگاه مختصات قطبی، مساحت ازانتگرال \scriptstyle \int_\theta \tfrac{1}{2} r(\theta)^2\,d\theta, محاسبه می‌شود، وقتی فرم یکپارچه می‌شود درجه r است، به این معنی که نرخ در هر ناحیه با توجه به تغییر در درجه تفاوت زاویه با شعاع تغییر می‌کند. برای یک معادله پارامتری در دستگاه قطبی، جایی که rو a به صورت تابعی از زمان تغییر کنند، خواهیم داشت:

\int_t \tfrac{1}{2} r(t)^2 d(\theta(t)) = \int_t \tfrac{1}{2} r(t)^2 \cdot \dot \theta(t)\,dt.

در پلانی متر برای چرخی که به انتهای اتصال ثابت شده‌است و حول یک نقطه می‌چرخد، کل گردش چرخ با \scriptstyle \int_t r(t) \cdot \dot \theta(t)\,dt, متناسب است، همچنین گردش با مسافت پیموده شده متناسب است، که در هر نقطه از زمان با شعاع و تغییر در زاویه متناسب است، همانطور که در محیط یک دایره (\scriptstyle \int r\,d\theta = 2\pi r)است.

این جمله زیر انتگرال \scriptstyle r(t) \cdot \dot \theta(t)\,dt می‌تواند به عنوان مشتق جمله زیر انتگرال قبلی\scriptstyle \tfrac{1}{2} r(t)^2 \dot \theta(t)\,dt (نسبت به r) شناخته شود و نشان می‌دهد پلانی متر ناحیهٔ انتگرال را از دیدگاه مشتق محاسبه می‌کند، که به تئوری گرین بر می‌گردد، که با انتگرال خطی تابع در یک محیط یک بعدی به انتگرال دو بعدی مشتق معادل است.

منابع[ویرایش]

جستجو در ویکی‌نبشته متن مقاله‌ای مرتبط در 1911 Encyclopædia Britannica در ویکی‌نبشتهٔ انگلیسی موجود است.

پیوند به بیرون[ویرایش]