وارونگی (منطق)

وارونگی در منطق به دو نوع است: وارونگی مستوی و وارونگی نقیض. در وارونگی، بر خلاف هم‌ستیزی درستی و نادرستی قضیه تغییر نمی‌کند.

نقیض یا وارونگی مستوی

وارونگی مستوی یک قضیه، هم‌ارزش و معادل با اصل آن قضیه است. برای به دست آوردن وارونگی مستوی یک قضیه، باید جای موضوع و محمول آن را عوض کرد و کیف(سلب و ایجاب) را به حال خود گذاشت؛ در این صورت قضیه‌ای را که به دست می‌آید معکوس قضیه اول می‌نامند. وارونۀ یک قضیه صادق، حتماً صادق است. همچنین اگر قضیه‌ای موجبه باشد، وارونه‌اش هم باید موجبه باشد، و اگر سالبه باشد، عکسش نیز سالبه است. در عکس مستوی، کمیت قضیه لازم نیست یکسان باشد؛ و از قضیه کلی، عکس جزئی نیز قابل استنتاج است.

قضیهٔ موجبهٔ کلیه به موجبهٔ جزئیه منعکس می‌شود: مثلا قضیهٔ «هر فلزی رساناست» در حال عکس چنین می‌شود که «بعضی رساناها فلز هستند» یا قضیهٔ «هر ایرانی آسیایی است» عکسش این است که «بعضی آسیایی‌ها ایرانی هستند.» علت این که موجبهٔ کلیه به موجبه جزئیه انعکاس می‌یابد این است که در قضایای حملی معمولاً محمول اعم از موضوع است و بنابراین نمی‌توان آن را به صورت کلّی منعکس کرد؛ مثلاً نمی‌توان گفت: « هر آسیایی ایرانی‌است.» موجبه جزئیه به موجبه جزئیه منعکس می‌شود. مثلاً قضیهٔ «بعضی ایرانی‌ها مسلمان‌اند» به قضیهٔ «بعضی مسلمان‌ها ایرانی‌اند» تبدیل می‌شود. سالبهٔ کلیه به سالبه کلیه منعکس می‌شود؛ مانند «هیچ مهره‌داری حشره نیست» که معکوس آن می‌شود: «هیچ حشره‌ای مهره‌دار نیست.»

سالبه جزئیه دارای عکس مستوی لازم‌الصدق نیست؛ به این معنی که اگر قضیهٔ سالبه جزئیه صادق داشته باشیم، عکس آن فقط در صورتی صادق است که رابطه موضوع و محمول قضایا، رابطه عموم و خصوص من‌وجه باشد. مثلاً عکس «بعضی حیوانات سیاه نیستند» می‌شود «بعضی سیاه‌ها حیوان نیستند» که قضیه صادقی است؛ اما عکس «بعضی انسان‌ها باسواد نیستند» می‌شود « بعضی باسوادها انسان نیستند» که کاذب است.

اصل قضیه		عکس مستوی
(موجبه کلیه) هر الف ب است.	→	(موجبه جزئیه) بعضی ب الف است.
(سالبه کلیه) هیچ الف ب نیست.	↔	(سالبه کلیه) هیچ ب الف نیست.
(موجبه جزئیه) بعضی الف ب است.	↔	(موجبه جزئیه) بعضی ب الف است.
(سالبه جزئیه) بعضی الف ب نیست.		ندارد

وارونگی نقیض یا عکس نقیض

وارونگی نقیض یک قضیه که هم‌ارزش با آن است، با خود آن در دو چیز تفاوت دارد؛ یکی جا به جایی موضوع و محمول و دیگر نقض آن‌ها. فقط قضایای موجبه کلیه و سالبه جزئیه دارای عکس نیستند. مثلاً عکس نقیض قضیهٔ «هر دانایی توانا است» می‌شود « هر ناتوانی نادان است.» ماشین آتوود یک دستگاه مکانیکی بسیار مفید است که بسته به نوع آن از یک یا دو قرقره و چند وزنه با جرمهای مختلف تشکیل شده است که این وزنه‌ها به وسیله نخهای غیر قابل ارتجاع از قرقره آویزان شده‌اند.

دید کلی در تشریح کاربرد معادلات لاگرانژ ابتدا سیستمهای ساده مکانیکی مورد بحث قرار می‌گیرند. ماشین آتوود از جمله این سیستمهای ساده است. در حالت کلی ماشین آتوود بسته به تعداد قرقره‌ها در انواع مختلفی وجود دارد. ماشین آتوود ساده ماشین آتوود ساده از دو وزنه به جرمهای و که به وسیله یک رشته غیر قابل ارتجاع به طول که از روی قرقره عبور کرده است و به یکدیگر متصل هستند، تشکیل شده است. این سیستم فقط دارای یک درجه آزادی است، یعنی چون فقط یک قرقره وجود دارد، لذا اگر مبدأ مختصات را در نقطه آویز قرقره فرض کنیم، در این صورت حرکت هر دو وزنه را می‌توان با یک پارامتر مشخص نمود. همچنین چون تنها نیروی وارده، نیروی گرانشی ناشی از وزن دو وزنه است، لذا به دلیل پایستار بودن نیروی گرانشی حرکت پایا خواهد بود و به راحتی می‌توان از قانون بقا انرژی استفاده کرد. به این ترتیب شتاب حرکت سیستم با فرض اینکه درجه آزادی را با متغیر نشان دهیم به صورت زیر خواهد بود:

در عبارت فوق a شعاع قرقره است. به وضوح ملاحظه می‌شود که اگر باشد، با شتاب ثابت سقوط خواهد کرد و اگر باشد، با شتاب ثابت صعود خواهد نمود.

ماشین آتوود دوگانه ساختمان ماشین آتوود دوگانه مانند ماشین آتوود ساده است، با این تفاوت که در این سیستم یکی از وزنه‌های ماشین آتوود ساده را با یک قرقره دیگر که دو وزنه متصل به وسیله نخ ثانویه‌ای را تحمل می‌کند، جایگزین می‌کنیم. بنابراین این سیستم دارای دو درجه آزادی خواهد بود. باز در این حالت نیز چون تنها نیروی خارجی نیروی پایستار گرانش است، لذا حرکت سیستم پایا خوهد بود و قانون بقای انرژی برقرار است. حال اگر دو درجه آزادی سیستم را با متغیرهای و نمایش دهیم، در این صورت معادلات حرکت که نشان دهنده شتاب سیستم نسبت به و هستند، به صورت دو معادله حاصل می‌شوند. می‌توان این دو معادله را به صورت یک دستگاه معادلات حل نموده و شتاب نسبت به و را به صورت جداگانه بکار برد. کابرد ماشین آتوود یکی از بارزترین کاربردهای ماشین آتوود در قرقره‌هایی است که به منظور بالا بردن وسایل سنگین به طبقات بالاتر ساختمانها مورد استفاده قرار می‌گیرند. اگر شخصی که از این وسایل استفاده می‌کند، به اصول مکانیکی این وسایل آشنا باشد، می‌تواند به راحتی و با اعمال نیروی اندک وسایل خیلی سنگین را تا ارتفاع زیاد بالا ببرد.