هموردایی لورنتز

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

'تقارن لورنتز'(لورنتس) در دانش فیزیک، که نام آن برگرفته از نام هندریک لورنتز می باشد، عبارت است از "ویژگی طبیعت که می گوید نتایج آزمایشها مستقل از جهت گیری و سرعت آزمایشگاه در میان فضا هستند".[۱] لورنتز در تلاش جهت بهبود تبدیلات گالیله،تبدیل جدیدی یافت که تحت آن معادلات ماکسول در سیستم‌های مختصات مختلفی که نسبت به هم حرکت دارند، تغییر نمی‌کرد و به این ترتیب اساس نسبیت خاص بنا نهاده شد. این تبدیل اکنون تبدیلات لورنتس نامیده می‌شود.[۲] یکی از مفاهیم مرتبط با تقارن لورنتز، هموردایی لورنتز می باشد که بنا بر نظریه نسبیت خاص از ویژگیهای کلیدی فضازمان است. هموردایی لورنتز دو معنی متمایز اما مرتبط دارد:

  1. یک کمیت فیزیکی را در صورتی هموردای لورنتز می خوانند که تحت یک نمایش گروه لورنتز تبدیل شود. بنا بر نظریه نمایش گروه لورنتز، این کمیتها از نرده ای ها، چارتانسور ها، چاربردار ها و اسپینور ها ساخته می شوند. به طورخاص ، یک کمیت نرده ای (مانند بازه فضازمان) تحت تبدیلات لورنتز بدون تغییر می ماند و به آن ناوردای لورنتز گفته می شود(یعنی تحت یک نمایش بدیهی تبدیل می شوند).
  1. یک معادله را هموردای لورنتز می گویند هرگاه بتوان آن را بر حسب کمیتهای هموردای لورنتز نوشت. ویژگی کلیدی این معادلات این است که اگر در یک چارچوب لَخت برقرار باشند در هر چارچوب لخت دیگری نیز برقرار خواهند بود. این ویژگی از این امر پیروی می کند که اگر تمام مولفه های یک تانسور در یک چارچوب ناپدید شوند، در هر چارچوب دیگری نیز ناپدید خواهند شد. بنا بر اصل نسبیت این ویژگی ضروری است؛ یعنی همه قوانین غیرگرانشی باید برای آزمایشهای یکسانی که در یک رویداد فضازمان در دو چارچوب مرجع لخت مختلف رخ می دهند، نتایج یکسانی پیش بینی کنند.

کاربرد واژه هموردا در اینجا نباید با مفهوم مرتبط بردار هموردا اشتباه شود. در مورد خمینه ها، واژگان هموردا و پادوردا به چگونگی تبدیلات اشیاء تحت تبدیلات مختصات عمومی اشاره دارند.

هموردایی محلی لورنتز که از نسبیت عام نتیجه می شود، به کاربرد هموردایی لورنتز تنها به صورت محلی در ناحیه ای بینهایت کوچک از فضازمان در هرنقطه اشاره دارد. مفاهیم هموردای پوانکاره و ناوردای پوانکاره تعمیمی براین مفهوم هستند.

مثالها[ویرایش]

به طور کلی می توان ماهیت یک تانسور لورنتز را از روی مرتبه تانسور ، که تعداد اندیس های آن است؛ تعیین نمود. مثلا اگر هیچ اندیسی وجود نداشته باشد نشانه کمیت نرده ای و یک اندیس نشان دهنده بردار است. علاوه براین می توان با فشردن انواع مختلف تانسورها با یکدیگر می توان هر تعداد کمیت جدید نردهای،برداری و غیره ساخت، اما بسیاری از این کمیتها ممکن است معنای فیزیکی واقعی نداشته باشند. برخی از تانسورهایی که تعبیر فیزیکی دارند در زیر لیست شده اند. توجه کنید که روش علامت گذاری تانسور متریک به گونه ای است که در سراسر این نوشتار ماتریس قطری (۱, ۱−, ۱−, ۱−) = η .

کمیتهای نرده ای لورنتز[ویرایش]

بازه فضازمان :

\Delta s^2=x^a x^b \eta_{ab}=c^2 \Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2

زمان ویژه (برای بازه های زمانواره) :

\Delta \tau = \sqrt{\frac{\Delta s^2}{c^2}},\, \Delta s^2 > 0

جرم لختی :

m_0^2 c^2 = p^a p^b \eta_{ab}= \frac{E^2}{c^2} - p_x^2 - p_y^2 - p_z^2

ناورداهای الکترومغناطیس :

F_{ab} F^{ab} = \ 2 \left( B^2 - \frac{E^2}{c^2} \right)
G_{cd}F^{cd}=\frac{1}{2}\epsilon_{abcd}F^{ab} F^{cd} = - \frac{4}{c} \left( \vec B \cdot \vec E \right)

عملگر موج/دی آلمبرتی:

\Box = \eta^{\mu\nu}\partial_\mu \partial_\nu  = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2} - \frac{\partial^2}{\partial z^2}

چاربردارهای لورنتز[ویرایش]

چار-جابه جایی :

X^a = \left[ct, x, y, z\right]

مشتق پاره ای :

\partial_a = \left[ \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right]

چارسرعت :

U^a = \frac{dX^a}{d\tau} = \gamma \left[c, \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt}\right]

چارتکانه :

P^a = m_0 U^a = \left[\frac{E}{c}, p_x, p_y, p_z\right]

چارجریان :

j^a = \left[c\rho, j_x, j_y, j_z\right]

چارتانسور لورنتز[ویرایش]

دلتای کرونکر :

\delta^a_b = \begin{cases} 1 & \mbox{if } a = b, \\ 0 & \mbox{if } a \ne b. \end{cases}

متریک مینکوفسکی (متریک فضا در نسبیت عام)

\eta_{ab} = \eta^{ab} = \begin{cases} 1 & \mbox{if } a = b = 0, \\ -1 & \mbox{if }a = b = 1, 2, 3, \\ 0 & \mbox{if } a \ne b. \end{cases}

نماد لوی-چیویتا :

\epsilon_{abcd} = -\epsilon^{abcd} = \begin{cases} +1 & \mbox{if } \{abcd\} \mbox{ is an even permutation of } \{0123\}, \\ -1 & \mbox{if } \{abcd\} \mbox{ is an odd permutation of } \{0123\}, \\ 0 & \mbox{otherwise.} \end{cases}

تانسور میدان الکترومغناطیسی (با استفاده از رویه علامت گذاری +---) :

F_{ab} = \begin{bmatrix} 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\ -E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{bmatrix}

تانسور میدان الکترومغناطیسی دوگانه :

G_{cd} = \frac{1}{2}\epsilon_{abcd}F^{ab} = \begin{bmatrix} 0 & B_x & B_y & B_z \\ -B_x & 0 & E_z/c & -E_y/c \\ -B_y & -E_z/c & 0 & E_x/c \\ -B_z & E_y/c & -E_x/c & 0 \end{bmatrix}


منابع[ویرایش]