هماهنگ‌های کروی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات، هماهنگ‌های کروی بخش زاویه‌ای مجموعه‌ای از جواب‌های متعامد برای معادله لاپلاس هستند که در دستگاه مختصات کروی بیان شده است. هماهنگ‌های کروی کاربردهای نظری و عملی زیادی دارند، به ویژه در محاسبهٔ ترازهای الکترونی اتم‌ها، نمایش میدان‌های گرانشی، میدان مغناطیسی سیارات و تابش زمینه کیهانی. در گرافیک رایانه‌ای سه‌بعدی، هماهنگ‌های کروی نقش خاصی را در مسائل گوناگونی بازی می‌کنند، مانند نورپردازی غیرمستقیم و تشخیص اشیای سه‌بعدی.

مقدمه[ویرایش]

هماهنگ‌های کروی حقیقی، Ylm، برای l=0 تا l=4 (بالا به پایین) و m=0 تا m=4 (چپ به راست).

معادله لاپلاس در مختصات کروی به شکل زیر است:

 \nabla^2 f = {1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) 
  + {1 \over r^2\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) 
  + {1 \over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0

با تبدیل ‎f(r,θ,φ)=R(r)Θ(θ)Φ(φ)‎ ، بخش زاویه‌ای معادلهٔ لاپلاس در شرط زیر صدق می‌کند:

{\Phi(\varphi) \over \sin\theta}{d \over d\theta}\left(\sin\theta {d\Theta \over d\theta} \right) + {\Theta(\theta) \over \sin^2 \theta}{d^2\Phi \over d\varphi^2} + l(l+1)\Theta(\theta)\Phi(\varphi) = 0.

با به‌کاربردن روش جداسازی متغیرها به دو معادله دیفرانسیل زیر می‌رسیم:

\frac{1}{\Phi(\varphi)} \frac{d^2 \Phi(\varphi)}{d\varphi^2} = -m^2
l(l+1)\sin ^2(\theta) + \frac{\sin(\theta)}{\Theta(\theta)} \frac{d}{d\theta} \left [ \sin(\theta) \frac{d\Theta}{d\theta} \right ] = m^2

برای هر m و l. بنابراین می‌توان نشان داد که بخش زاویه‌ای جواب، حاصل‌ضرب توابع مثلثاتی و توابع وابسته لژاندر هستند:

 Y_\ell^m (\theta, \varphi ) = N \, e^{i m \varphi } \, P_\ell^m (\cos{\theta} ),

که در آن Y_\ell^m هماهنگ کروی درجهٔ \ell و مرتبهٔ m خوانده می‌شود و P_\ell^m تابع وابسته لژاندر است، N ثابت بهنجارش است و θ و φ به ترتیب زاویه با محور z (متمم عرض جغرافیایی) و زاویهٔ قطبی (طول جغرافیایی) هستند.

منابع[ویرایش]

  • E.W. Hobson, The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics, (1955) Chelsea Pub. Co., ISBN 978-0-8284-0104-3.

پیوند به بیرون[ویرایش]

جستجو در ویکی‌انبار در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ هماهنگ‌های کروی موجود است.