نمادگذاری نمایه انتزاعی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

نمادگذاری نمایه انتزاعی (به انگلیسی: abstract index notation) یک نمادگذاری ریاضی برای تانسورها و اسپینورها ست که برای نشان دادن نوع آنها، به جای مولفه هایشان در یک مبنای خاص از نمایه(اندیس) استفاده می کند. این نمایه ها تنها جانگهدار هستند و به هیچ مبنای ثابتی ارتباط ندارند و غیر عددی هستند. به همین دلیل نباید با حساب دیفرانسیل ریچی اشتباه شود. این نمادگذاری توسط راجر پنروز معرفی شد تا ضمن استفاده از جنبه های صوری قرارداد جمع زنی اینشتین برای جبران دشواری توصیف فشرده سازی و دیفرانسیل گیری هموردا در نمادگذاریهای انتزاعی مدرن تانسور، بتوان هموردایی صریح عبارتهای درگیر را حفظ نمود.

فرض کنید V یک فضای بردار و V* دوگان آن باشد. برای مثال یک تانسور هموردای مرتبه دو \scriptstyle h\in V^*\otimes V^* را در نظر بگیرید . پس می توان h را با یک شکل دوخطی روی V تعیین نمود. به عبارت دیگر h تابعی از دو آرگومان در V است که می توان آن را به صورت یک جفت شکاف نمایش داد:

h = h(-,-).\,

نمادگذاری نمایه انتزاعی تنها عبارت از برچسب زدن شکافها با حروف لاتین می باشد که به جز برچسب شکافها هیچ مفهوم و اهمیت دیگری ندارند(یعنی غیرعددی هستند):

h = h_{ab}.\,

یک فشرده سازی بین دو تانسور با تکرار برچسب یک نمایه(اندیس) نمایش داده می شود، به گونه ای که یک برچسب پادوردا(نمایه بالایی متناظر با یک تانسور در V) و یکی هموردا(نمایه بالایی متناظر با یک تانسور در V*) می باشد. پس به عنوان مثال : {t_{ab}}^b اثر یک تانسور t = tabc روی دو شکاف آخرش است. این روش نمایش فشرده سازی تانسورها بوسیله نمایه های تکراری از لحاظ صوری شبیه به قرارداد جمع زنی اینشتین است، اما از آنجا که نمایه ها غیرعددی هستند دلالت بر جمع زنی ندارد: بلکه متناظر با عملیات اثر مستقل از مبنا بین فاکتورهای تانسور نوع V و نوع V* می باشد.

نمایه های انتزاعی و فضاهای تانسور[ویرایش]

یک تانسور عمومی همگن، عنصری از ضرب تانسوری کپی های V و V* است، مانند :

V\otimes V^*\otimes V^* \otimes V\otimes V^*.

هر فاکتور را در این ضرب تانسوری با یک حرف لاتین به صورت نمایه بالایی برای هر فاکتور هموردای V و نمایه پایین برای هر فاکتور پادوردای V* برچسب می زنیم، به این ترتیب حاصلضرب را می توان به صورت زیر نوشت :

V^a V_b V_c V^d V_e\,

و یا به سادگی:

{{{V^a}_{bc}}^d}_e.

نکته مهم این است که این دو عبارت آخر دقیقا همان شیء عبارت اول را مشخص می کنند. تانسورهای این نوع را می توان با همان نمادگذاری نمایش داد، مثلا :

{{{h^a}_{bc}}^d}_e \in {{{V^a}_{bc}}^d}_e = V\otimes V^*\otimes V^* \otimes V\otimes V^*.

فشرده سازی[ویرایش]

به طور عمومی هرگاه یک فاکتور هموردا و یک فاکتور پادوردا در حاصلضرب تانسوری فضاها موجود باشند، یک نگاشت فشرده سازی(یا اثر) متناظر وجود خواهد داشت. مثلا :

\mathrm{Tr}_{12} : V\otimes V^*\otimes V^* \otimes V\otimes V^* \to V^* \otimes V\otimes V^*

اثر بر دو فضای اول حاصلضرب تانسوری است و

\mathrm{Tr}_{15} : V\otimes V^*\otimes V^* \otimes V\otimes V^* \to V^* \otimes V^*\otimes V

اثر بر فضاهای اول و آخر است.

این عملیات های اثر در تانسورها با تکرار نمایه نشان داده می شوند. بنابراین نگاشت اثر اول از رابطه زیر به دست می آید :

\mathrm{Tr}_{12} : {{{h^a}_{bc}}^d}_e \mapsto {{{h^a}_{ac}}^d}_e

و دومی از این رابطه :

\mathrm{Tr}_{15} : {{{h^a}_{bc}}^d}_e \mapsto {{{h^a}_{bc}}^d}_a.

منابع[ویرایش]