نظریه اندازه

اندازه در ریاضیات، به تابعی گفته می‌شود، که یک عدد یا مقدار را (به عنوان مثال اندازه، حجم یا احتمال) به هر زیرمجموعه از یک مجموعه خاص، نسبت می‌دهد. این نظریه به منظور، محاسبه انتگرالها بر روی مجموعه‌ها به جای برروی فاصله‌ها (یا همان بازه‌ها) که در معمول انجام می‌پذیرد، گسترش پیدا کرد و از این رو در آنالیز ریاضی و در نظریه احتمالات، بسیار دارای اهمیت می‌باشد.

نظریه اندازه، قسمت مهمی از آنالیز حقیقی است، به طوری که جبرهای سیگما، قیاس‌ها توابع قیاس‌پذیر و انتگرالها را مورد تحقیق، قرار می‌دهد و در نظریه احتمالات و آمار از اهمیت زیادی برخوردار است.

تعریف

برطبق تعریف، اندازه $\mu$ تابعی است (یا به عبارتی نگاشتی است)، که برروی جبر سیگمای $\Sigma$ بر مجموعه $X$، تعریف می‌شود و مقادیر بین $[0,\infty[$، می‌پذیرد و دارای خصوصیت‌های زیر است:

$\mu(\varnothing) = 0$

$\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(E_i)$

در اینجا $\varnothing$ مجموعه تهی و $E_1,E_2,E_3\cdots$ تعداد شمارایی از مجموعه‌هایی در $\Sigma$ هستند، که اشتراک هرکدام از آنها با دیگری تهی است (مجموعه‌ها مجزا هستند). در این حالت به $(X,\Sigma,\mu)$ فضای اندازه‌ای و به اعضای $\Sigma$، مجموعه‌های اندازه‌پذیر گفته می‌شود.

خاصیت‌ها

از تعریفهای بالا، عبارت‌های زیر به دست می‌آیند:

جستار وابسته

• قیاس لبگ
• انتگرال لبگ
• اندازه هاسدورف

منابع

• R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
• Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co.
• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8