نظریه اعداد اول

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

نظریه اعداد اول (به انگلیسی: prime number theorem) نام نظریه ای بسیار اساسی در بخش نظریه اعداد ریاضی و اعداد اول که نقش بسیار مهمی در پیشبرد نظریه اعداد را ایفا می کند.

قضیه[ویرایش]

اگر \pi(x) تعداد اعداد اول کمتر از  x باشد

آنگاه

 \lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x/ln(x)} = 1

بررسی قضیه[ویرایش]

x  \pi(x)   \frac{\pi(x)}{x/ln(x)}
10 4 0.921
102 25 1.151
103 168 1.161
104 1,229 1.132
105 9,592 1.104
106 78,498 1.084
107 664,579 1.071
108 5,761,455 1.061
109 50,847,534 1.054
1010 455,052,511 1.048
OEIS A006880 A057835

تعمیم قضیه[ویرایش]

با استفاده از قضیه اعداد اول می توان اثبات کرد که:

 \lim_{x \to \infty} \frac{p(x)}{x \ln(x)} = 1

که در آن تابع p(x) ، تابع مولد اعداد اول باشد یعنی: x امین عدد اول p(x)=

اثبات تعمیم قضیه[ویرایش]

می دانیم:

 \lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x/ln(x)} = 1

\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x}.\!

می دانیم توابع p(x) و \pi(x) معکوس هم هستند. یعنی:

 p^{-1}\left( \, x \, \right) = \pi(x)

در نتیجه می توان با حل معادله \pi(x)=x تابع p(x) را یافت.

می دانیم \pi(x)\sim\frac{x}{\ln x}.\!

پس با حل معادله \frac{x}{\ln x}=x می توان هم ارزی برای p(x) یاقت.

به روش تکرار ساده معادله را حل میکنیم.

\frac{x_1}{\ln x}=x_2

{x_1}=x_2 \ln(x)

p(x)=x \ln(x)

اما باید توجه داشت چون به جای \pi(x) از تابع هم ارز آن استفاده شده پس:

p(x)\sim\ x \ln(x)

در نتیجه:

 \lim_{x \to \infty} \frac{p(x)}{x \ln(x)} = 1

منابع[ویرایش]

  • مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Prime number theorem»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد.