نظریه اشتورم-لیوویل

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات و کاربردها، یک معادله‌ی اشتورم-لیوویل کلاسیک، نام‌گذاری شده به نام ژاک شارل فرانسوا استورم (۱۸۵۵-۱۸۰۳) و جوزف لیوویل (۱۸۸۲-۱۸۰۹) یک معادله‌ی دیفرانسیل خطی مرتبه‌ی دوم حقیقی به صورت

 -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[p(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right]+q(x)y=\lambda w(x)y (معادله ۱)

است که در آن y تابعی از متغیر x می‌باشد. توابع p(x)<0 و w(x)>0 و q(x) در ابتدا مشخص شده‌اند. در ساده‌ترین حالت، همه‌ی ضرایب در بازه‌ی متناهی [a,b] پیوسته هستند و p دارای مشتق پیوسته است. در ساده‌ترین حالت، تابع y یک پاسخ خوانده می‌شود، اگر در (a,b) به‌طور پیوسته مشتق‌پذیر باشد و معادله‌ی بالا را در هر نقطه از بازه‌ی (a،b) ارضا نماید. علاوه‌براین، معمولاً تابع y باید در a و b برخی شرایط مرزی را ارضا کند. تابع (w(x که گاهی با (r(x نمایش داده می‌شود تابع وزن یا تابع چگالی نامیده می‌شود.

مقدار λ در معادله مشخص نیست. یافتن مقادیری از λ که به ازای آن مقادیر، پاسخی غیربدیهی برای معادله‌ی ۱ که شرایط مرزی را نیز ارضا می‌کند وجود داشته باشد، جزئی از مسئله به نام مسئله‌ی اشتورم-لیوویل است. ( S–L) problem) )

این مقادیر λ اگر موجود باشند، ویژه‌مقدارهای مسئله‌ی مقدار مرزی تعریف شده توسط معادله‌ی بالا و شرایط مرزی تعیین شده خوانده می‌شوند. پاسخ‌های متناظر به هر λ ، ویژه‌تابع های مسئله نامیده می‌شوند.

تحت فرضیات آورده شده در بالا برای ضرایب، این معادله و ضرایب آن، یک عملگر دیفرانسیلی هرمیتی در یک فضای تابع تعریف شده با شرایط مرزی تعریف می‌کنند. نظریه بررسی وجود و رفتار مجانبی ویژه‌مقدارها، بررسی کیفی ویژه‌تابع‌ها و تمامیت آن‌ها در یک فضای تابع مناسب با نام نظریه اشتورم-لیوویل خوانده می‌شود. این نظریه در ریاضیات کاربردی بسیار مهم است و مسائل اشتورم-لیوویل بسیار معمول هستند، به خصوص هنگام روبه‌رو شدن با معادلات دیفرانسیل خطی با مشتقات پاره‌ای جدایی‌پذیر.