نظریه اختلال مستقل از زمان

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

درآمد[ویرایش]

برای مطالعه مسایل حالتهای مانا، روی سه روش متمرکز می شویم: نظریه اختلال، روش وردشی، و روش WKB. نظریه اختلال بر این فرض استوار است که مسایلی که می خواهیم حل کنیم تنها اندکی با مساءله ای که می توان آن را به طور دقیق حل کرد، اختلاف دارند. در مواردی که اختلاف دو مساله کوچک است، نظریه اختلال برای محاسبه سهم مربوط به این اختلال مناسب است؛ سپس این سهم به عنوان یک تصحیح به انرژی و تابع موجی هامیلتونی که بطور دقیق قابل حل است، اضافه می شود. بنابراین نظریه اختلال، برای بدست آوردن جوابهای تقریبی، به جوابهای دقیق شناخته شده جملاتی اضافه می کند. در مورد سیستم هایی که هامیلتونی آنها را نمیتوان به یک قسمت قابل حل دقیق و یک تصحیح کوچک تقسیم کرد، چه می توان گفت؟ برای اینگونه سیستم ها می توانیم روش وردشی یا تقریب WKB را به کار گیریم. روش وردشی مخصوصا در تقریب ویژه مقادیر انرژی حالت زمینه و چند حالت برانگیخته اول سیستم که فقط یک ایده کیفی در مورد شکل تابع موج داریم، مفید است.

روش WKB برای یافتن ویژه مقادیر انرژی و تابع موج های سیستمهایی که حد کلاسیکی معتبر است، مفید است. بر خلاف نظریه اختلال، روش های وردشی و WKB نیاز به وجود هامیلتونی بسیار نزدیک که بتوان بطور دقیق حل کرد، ندارند.

کاربرد روشهای تقریبی برای مطالعه حالت های مانا شامل پیدا کردن ویژه مقادیر انرژی و ویژه توابع هامیلتونی مستقل از زمان است که جوابهای دقیقی ندارند. بسته به ساختار H، می توانیم از هر سه روش اشاره شده در بالا برای پیدا کردن جوابهای تقریبی برای این مساله ویژه مقداری استفاده کنیم.

نظریه اختلال مستقل از زمان[ویرایش]

با هامییتونی مختل نشده H0، که اغلب فرض می شود هیچ وابستگی به زمان ندارد شروع می کنیم. سطوح انرژی شناخته شده و ویژه حالت هایی دارد، ناشی از معادله شرودینگر مستقل از زمان:


 H_0 |n^{(0)}\rang = E_n^{(0)} |n^{(0)}\rang \quad,\quad n = 1, 2, 3, \cdots

برای سادگی فرض می کنیم، انرژی ها گسسته هستند.(0) اندیس بالا دلالت بر این دارد که کمیت ها با سیستم مختل نشده همبسته هستند.(به استفاده از نشان‌گذاری برا-کت توجه کنید.)

هم اکنون هامیلتونی مختل شده را بررسی می کنیم. اجازه بدهیدVرا هامیلتونی نشان دهنده یک اختلال ضعیف فیزیکی بگیریم، به عنوان مثال انرژی پتانسیل تولید شده توسط میدان خارجی. (به این ترتیب، V رسمآ اپراتور تفکیک پذیراست.)اجازه بدهید\lambda پارامتر بدون بعدی باشد که مقادیر پیوسته ای از 0 (بدون اختلال) تا 1 (اختلال کامل) می گیرد. هامیلتونی مختل شده به صورت زیر است:

 H = H_0 + \lambda V

سطوح انرژی و ویژه حالت ها از هامیلتونی مختل شده دوباره با معادله شرودینگر داده می شود:

 \left(H_0 + \lambda V \right) |n\rang = E_n |n\rang .

هدف ما بیان E_n و |n\rang در جمله هایی از سطوح انرژی و ویژه حالت ها از هامیلتونی قدیمی است. اگر اختلال به اندازه کافی ضعیف باشد،می توانیم آنها را به صورت مجموعه های توان در λ بنویسیم:


 E_n = E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)} + \cdots
 |n\rang = |n^{(0)}\rang + \lambda |n^{(1)}\rang + \lambda^2 |n^{(2)}\rang + \cdots

از انجایی که

 E_n^{(k)} = \frac{1}{k!} \frac{d^k E_n}{d \lambda^k}

و

 |n^{(k)}\rang = \frac{1}{k!}\frac{d^k |n\rang }{d \lambda^k}.

وقتی λ = 0 است، اینها مقادیر مختل شده را کاهش می دهند، که هر کدام اولین جمله هر سری هستند.از آنجایی که اختلال ضعیف است، سطوح انرژی و ویژه حالت ها نباید بیش از مقادیر مختل شده شان منحرف شوند. و این جمله ها باید به سرعت از آن چیزی که وقتی به مراتب بالاتری می رویم کوچکتر شوند. حال اتصال سری توانی را در معادله ی شرودینگر بدست می آوریم:

\begin{matrix}
\left(H_0 + \lambda V \right) \left(|n^{(0)}\rang + \lambda |n^{(1)}\rang + \cdots \right) \qquad\qquad\qquad\qquad\\
\qquad\qquad\qquad= \left(E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)} + \cdots \right) \left(|n^{(0)}\rang + \lambda |n^{(1)}\rang + \cdots \right)
\end{matrix}

گسترش این معادله و مقایسه ضریبها از هر توان ازλنتایج در یک سری نامتناهی از معادلات همزمان است. معادله مرتبه صفر به سادگی معادله شرودینگر برای سیستم مختل نشده است. معادلات مرتبه صفر به صورت زیر است:

 H_0 |n^{(1)}\rang + V |n^{(0)}\rang = E_n^{(0)} |n^{(1)}\rang + E_n^{(1)} |n^{(0)}\rang

اگر \lang n^{(0)} | را در طرفین معادله بالا ضرب کنیم، جمله اول از سمت چپ با جمله اول از سمت راست ساده می شوند.(توجه کنید که هامیلتونی مختل نشده هرمیتی است). این امر منجر به تغییر مرتبه اول انرژی می شود:

 E_n^{(1)} = \langle n^{(0)} | V | n^{(0)} \rangle

به وضوح این مقدار انتظاری هامیلتونی مختل شده است. در حالیکه سیستم در حالت مختل نشده است. این نتیجه را میتوان به این صورت تفسیر کرد: فرض کنید اختلال را اعمال کنیم، اما سیستم را در حالت کوانتومی |n^{(0)}\rang نگه داریم، هر کدام، یک مقدار حالت کوانتومی است، اگر چه یک ویژه حالت انرژی بزرگ نیست. اختلال باعث می شود که انرژی متوسط از این حالت با \lang n^{(0)}|V|n^{(0)}\rang افزایش یابد. هر چند تغییر انرژی درست کمی متفاوت است، چرا که ویژه حالت مختل شده دقیقا شبیه به ویژه حالت |n^{(0)}\rang نیست. این تغییرات بیشتر با تصحیحات انرژی مرتبه دوم و بالاتر داده می شوند. قبل از اینکه تصحیحات ویژه حالت انرژی را محاسبه کنیم، نیاز به روشی برای نرمالیزه کردن مساله داریم. ممکن است فرض کنیم، \lang n^{(0)}|n^{(0)}\rang = 1، اما در نظریه اختلال فرض می شود که \lang n | n \rang = 1 راداریم. نظریه اختلال از اینکه مرتبه اول در λ است، پیروی می کند، پس باید داشته باشیم:

\lang n^{(0)} | n^{(1)} \rang + \lang n^{(1)} | n^{(0)} \rang = 0

از آنجایی که مرحله کلی است،در مکانیک کوانتومی بدون از دست دادن کلیت مشخص نیست، ممکن است فر ض کنیم \lang n^{(0)}|n \rang کاملا واقعی است. بنابراین، \lang n^{(0)} | n^{(1)} \rang = - \lang n^{(1)} | n^{(0)} \rang و استنباط می کنیم که:

 \lang n^{(0)} | n^{(1)} \rang=0.

بدست آوردن تصحیح مرتبه اول ویژه حالت انرژی: برای توضیح تصحیح مرتبه اول انرژی به نتیجه نشان داده شده در بالا از تساوی ضریب مرتبه اول λ بر می گردیم. سپس از تفکیک عینییت استفاده می کنیم.


 V|n^{(0)}\rangle = \Big( \sum_{k\ne n} |k^{(0)}\rangle\langle k^{(0)}| \Big) V|n^{(0)}\rangle  + \left(|n^{(0)}\rangle\, \langle n^{(0)}|\right)  V|n^{(0)}\rangle

= \sum_{k\ne n} |k^{(0)}\rangle\langle k^{(0)}| V|n^{(0)}\rangle  + E_n^{(1)} |n^{(0)}\rangle,

از آنجایی که |k^{(0)}\rangle در مکمل متعامد از |n^{(0)}\rangle است. نتیجه به صورت زیر می شود:

 \left(E_n^{(0)} - H_0 \right) |n^{(1)}\rang = \sum_{k \ne n} |k^{(0)}\rang \langle k^{(0)}|V|n^{(0)} \rangle

برای لحظه ای، فرض می کنیم که انرژی مرتبه صفر منحط نیست، یعنی هیچ ویژه حالتی از H_0 در مکمل متعامد از |n^{(0)}\rangle با انرژی E_n^{(0)} وجود ندارد. اگر \lang k^{(0)}| را به طرفین معادله اخیر اثر بدهیم، نتیجه زیر را می دهد:


 \left(E_n^{(0)} - E_k^{(0)}  \right) \langle k^{(0)}|n^{(1)}\rang =  \langle k^{(0)}|V|n^{(0)} \rangle

و از این رو بخشی از تصحیح مرتبه اول انرژی همراه |k^{(0)}\rang می شود. بنابراین فرض می کنیم، E_n^{(0)} \ne E_k^{(0)} است. در کل عبارت زیر بدست می آید:

 |n^{(1)}\rang = \sum_{k \ne n} \frac{\langle k^{(0)}|V|n^{(0)} \rangle}{E_n^{(0)} - E_k^{(0)}} |k^{(0)}\rang

تغییر مرتبه اول در nامین ویژه کت انرژی یک سهم از هر ویژه حالت های انرژی kn دارد. هر اصطلاح عنصر ماتریس تناسبی \lang k^{(0)} | V | n^{(0)} \rang است، هر کدام یک اندازه گیری از مقدار مخلوط ویژه حالت اختلال n با ویژه حالت k; همچنین معکوسا متناسب است با تفاوت انرژی بین ویژه حالت k و n، به این معنی که اختلال ویژه حالت را به یک موجود بزرگتر تغییر شکل می دهد، اگر ویژه حالت های بیشتر در نزدیکی انرژی وجود داشته باشند. همچنین می بینیم که توضیح منحصر بفرد است اگر هر یک از این حالت ها همان انرژی داشته باشند که حالت n دارد، به همین دلیل است که فرض می کنیم هیچ واگنی وجود ندارد.


تصحیحات مرتبه دوم و بالاتر[ویرایش]

می توانیم انحرافات مرتبه بالاتر را با یک روش مشابه پیدا کنیم، هر چند محاسبات با فرمول فعلی ما بسیار خسته کننده می شود. فرمول نرمالیزه عبارت 2 \lang n^{(0)} | n^{(2)}\rang + \lang n^{(1)} | n^{(1)}\rang = 0 را می دهد. مرتبه های بالاتر از دو عبارت هایی که برای انرژی ها(نرمالیزه شده) و ویژه حالت ها داریم به صورت زیر است:


E_n = E_n^{(0)} + \lambda\langle n^{(0)} | V | n^{(0)} \rangle + \lambda^2\sum_{k \ne n} \frac{|\langle k^{(0)}|V|n^{(0)} \rangle|^2} {E_n^{(0)} - E_k^{(0)}} + O(\lambda^3)
|n\rangle = |n^{(0)}\rangle + \lambda\sum_{k \ne n} |k^{(0)}\rangle\frac{\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle}{E_n^{(0)}-E_k^{(0)}} + \lambda^2\sum_{k\neq n}\sum_{\ell \neq n} |k^{(0)}\rangle\frac{\langle k^{(0)}|V|\ell^{(0)}\rangle\langle \ell^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle}{(E_n^{(0)}-E_k^{(0)})(E_n^{(0)}-E_\ell^{(0)})}
-\lambda^2\sum_{k\neq n}|k^{(0)}\rangle\frac{\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle}{(E_n^{(0)}-E_k^{(0)})^2} - \frac{1}{2} \lambda^2|n^{(0)}\rangle\sum_{k \ne n} \frac{\langle n^{(0)}|V|k^{(0)}\rangle \langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{(E_n^{(0)}-E_k^{(0)})^2} + O(\lambda^3).

گسترش بیشتر این روند، تصحیح مرتبه سوم انرژی را می توانیم به صورت زیر نشان دهیم.

[۱]

E_n^{(3)} = \sum_{k \neq n} \sum_{m \neq n} \frac{\langle n^{(0)} | V | m^{(0)} \rangle \langle m^{(0)} | V | k^{(0)} \rangle \langle k^{(0)} | V | n^{(0)} \rangle}{\left( E_m^{(0)} - E_n^{(0)} \right) \left( E_k^{(0)} - E_n^{(0)} \right)} - \langle n^{(0)} | V | n^{(0)} \rangle \sum_{m \neq n} \frac{|\langle n^{(0)} | V | m^{(0)} \rangle|^2}{\left( E_m^{(0)} - E_n^{(0)} \right)^2}.

منابع[ویرایش]

  1. Landau, L. D.; Lifschitz, E. M. Quantum Mechanics: Non-relativistic Theory (3rd ed.). ISBN 0-08-019012-X. 
  • فیزیک کوانتومی :گاسیوروویچ
  • مکانیک کوانتومی و کاربردها :نورالدین زتیلی