نابرابری ینسن

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
نابرابری ینسن بر روی نمودار

نابرابری ینسن نابرابری اساسی در مبحث توابع محدب و مقعر است. این به دلیل عمومیت این نابرابری، خود مبنای بسیاری از نابرابری‌های مهم است، به خصوص در تجزیه و تحلیل و تئوری اطلاعات. این نابرابری بنام ریاضیدان دانمارکی یوهان لودویگ ینسن (به دانمارکی: Johan Ludvig William Valdemar Jensen)، نامگذاری شده و در ۱۷ در ژانویه ۱۹۰۵ در یک کنفرانس مربوط به ریاضیات در دانمارک معرفی شده‌اند.[۱] طبق فرضیه‌های دیگری این نا برابری قبل از آن توسط اتو هولدر، (به آلمانی: Otto Hölder) ریاضیدان آلمانی در سال ۱۸۸۹ استفاده شده.[۲]


جملات[ویرایش]

بیان[ویرایش]

برای یک تابع محدب f\; و برای \lambda_i\; غیر منفی: \sum_{i=1}^n \lambda_i = 1، بنابراین: [۳] [۴]

f\left(\sum_{i=1}^n\lambda_i x_i\right) \leq \sum_{i=1}^n \lambda_i f\left(x_i\right).

اثبات استنتاجی[ویرایش]

برای هر \lambda حقیقی بین ۰ و ۱ : [۵]

 f(\lambda x+(1-\lambda)y) \le \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)

اثبات ینسن[ویرایش]

f\left(\frac{x+y}{2}\right)\leq\frac{f(x)+f(y)}{2}
f\left(\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}\right)\leq\frac{\sum_{i=1}^n f\left(x_i\right)}{n}
f\left(\frac{\sum_{i=1}^n k_i x_i}{\sum_{i=1}^n k_i}\right)\leq\frac{\sum_{i=1}^n k_i f\left(x_i\right)}{\sum_{i=1}^n k_i}

کاربرد‌ها[ویرایش]

از نابرابری ینسن در اثبات نابرابری‌های دیگر استفاده می‌شود. بطور مثال در اثبات نابرابری میانگین حسابی-هندسی و نابرابری کی فان (به انگلیسی: Ky Fan inequality) از این نابرابری استفاده می‌شود. [۶]


پیوند به بیرون[ویرایش]

نابرابری ینسن، مؤسسه‌ای بین‌المللی ولفرم ریسرچ

منابع[ویرایش]

  1. ۱٫۰ ۱٫۱ Johan Ludwig William Valdemar Jensen: Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes. In Acta Math. 30, Seite 175–193, 1906.
  2. Otto Hölder: Ueber einen Mittelwerthssatz. In: Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen. Aus dem Jahre 1889., Nr. 1-21, Dieterichsche Verlags-Buchhandlung, Göttingen 1889, S. 38ff. (in Wikisource, abgerufen am 24. März 2012).
  3. Krantz, S. G. "Jensen's Inequality." §9.1.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, p. 118, 1999.
  4. «jensen’s inequality». Wolfram Alpha LLC—A Wolfram Research Company. بازبینی‌شده در ۱۵ اوت ۲۰۱۳. 
  5. «23.7 ,Konvexe Funktionen und Ungleichungen»(آلمانی)‎. Universität Duisburg-Essen. بازبینی‌شده در ۱۵ اوت ۲۰۱۳. 
  6. مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Jensensche Ungleichung»، ویکی‌پدیای آلمانی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۱۵ اوت ۲۰۱۳).