نابرابری میانگین حسابی-هندسی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات، نابرابری میانگین حسابی-هندسی[E ۱] یا نابرابری تیریث، نابرابری‌ای است که در آن میانگین حسابی فهرستی از اعداد نامنفی حقیقی، بزرگتر یا مساوی میانگین هندسی آن اعداد است. این دو زمانی با هم برابر می‌شوند، اگر و تنها اگر همهٔ عبارات با یک‌دیگر برابر باشند.

ریشه[ویرایش]

میانگین حسابی فهرستی از n عدد است (x۱،  x۲،  .  .  . ،  xn). حالت کسری تقسیم مجموع اعداد بر عدد n برابر است با:

\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}.

میانگین هندسی شبیه مورد قبلی است، ولی تنها برای اعداد نامنفی حقیقی تعریف می‌شود. میانگین هندسی با جایگزینی ضرب و ریشه‌گیری به جای جمع و تقسیم در میان عبارات بالا به‌دست می‌آید:

\sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}.

اگر x۱،  x۲،  .  .  . ،  xn > ۰ باشند، با تابع نمایی میانگین حسابی لگاریتم‌های طبیعی اعداد برابر خواهد شد:

\exp \left(\frac{\ln {x_1} + \ln {x_2} + \cdots + \ln {x_n}}{n} \right).

نابرابری[ویرایش]

اینک ما این نابرابری را با نمادهای ریاضی معرفی می‌کنیم، ما می‌توانیم هر فهرست n تایی از اعداد نامنفی حقیقی انتخاب کنیم. (x۱،  x۲،  .  .  . ،  xn)

\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n},

و حالت تساوی وقتی رخ می‌دهد؛ اگر و تنها اگر x۱ = x۲ = .  .  .  = xn باشند.

اثبات‌ها[ویرایش]

اثبات به‌وسیلهٔ استقرای قهقهرایی[ویرایش]

اثبات کوشی[ویرایش]

اثبات زیر به‌طور مستقیم به قوانین حساب متکی است. این روش توسط آگوستین لویی کوشی مطرح شده و می‌توان این اثبات را در کورس ده آنالایز[E ۲] وی یافت.

حالتی که همهٔ جملات با هم برابر باشند[ویرایش]

وقتی که همهٔ جملات با هم برابر باشند:

x_1 = x_2 = \cdots = x_n

پس جمع آن‌ها nx۱، میانگین حسابی آن‌ها x۱ و عدد زیر رادیکال x۱n می‌باشد. هم‌چنین میانگین هندسی آن‌ها x۱ است؛ از این رو، نابرابری میانگین حسابی-هندسی برای این حالت اثبات می‌شود.

حالتی که همهٔ جملات با هم برابر نباشند[ویرایش]

حالا حالتی که همه جملات باهم برابر نباشند مطرح می‌شود. باید نشان دهیم که میانگین حسابی اعداد از میانگین هندسیشان بیشتر است. بدیهی است، این حالت وقتی درست است که n > ۱ باشد.

این حالت به طور قابل توجهی پیچیده‌تر است، به همین دلیل آن را در چند قسمت مورد بررسی قرار می‌دهیم.

= == حالتی که n = ۲ شود ===[ویرایش]

اگر n = ۲، سپس دو جمله داریم، x۱ و x۲، بعد از آن (به وسیلهٔ فرضی که در اختیار داریم) همهٔ جملات با هم برابر نیستند، ما داریم:


\begin{align}
x_1 & \ne x_2 \\[3pt]
x_1 - x_2 & \ne 0 \\[3pt]
\left(x_1 - x_2 \right) ^2 & > 0 \\[3pt]
x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2 & > 0 \\[3pt]
x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2 & > 4 x_1 x_2 \\[3pt]
\left(x_1 + x_2 \right) ^2& > 4 x_1 x_2 \\[3pt]
\Bigl(\frac{x_1 + x_2}{2} \Bigr)^2 & > x_1 x_2 \\[3pt]
\frac{x_1 + x_2}{2} & > \sqrt{x_1 x_2}
\end{align}

پس حکم اثبات می‌شود.

= == حالتی که n = ۲k شود ===[ویرایش]

حالتی را در نظر بگیرید که n = ۲k باشد، وقتی که k عدد صحیح مثبتی باشد. ما به کمک استقرای ریاضی به اثبات این مورد می‌پردازیم.

برای گام استفرا k = ۱ قرار می‌دهیم، بنابراین n = ۲ است. ما قبلا نشان داده‌ایم نابرابری، وقتی که n = ۲ باشد، ایجاد می‌شود. پس ما در گام استقرا مشکلی نداریم.

حال، فرض کنید که k > ۱ باشد، ما قبلا نشان داده‌ایم نابرابری برای n = ۲k−۱ اتفاق می‌افتد، سپس با استفاده از مورد قبلی حالت n = ۲k را نیز اثبات می‌کنیم:


\begin{align}
\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{2^k}}{2^k} & {} =\frac{\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{2^{k-1}}}{2^{k-1}} + \frac{x_{2^{k-1} + 1} + x_{2^{k-1} + 2} + \cdots + x_{2^k}}{2^{k-1}}}{2} \\[7pt]
& \ge \frac{\sqrt[2^{k-1}]{x_1 x_2 \cdots x_{2^{k-1}}} + \sqrt[2^{k-1}]{x_{2^{k-1} + 1} x_{2^{k-1} + 2} \cdots x_{2^k}}}{2} \\[7pt]
& \ge \sqrt{\sqrt[2^{k-1}]{x_1 x_2 \cdots x_{2^{k-1}}} \sqrt[2^{k-1}]{x_{2^{k-1} + 1} x_{2^{k-1} + 2} \cdots x_{2^k}}} \\[7pt]
& = \sqrt[2^k]{x_1 x_2 \cdots x_{2^k}}
\end{align}

وقتی در نابرابری اول، دو طرف با هم برابر می‌شوند که فقط هردوی موارد زیر درست باشند:

x_1 = x_2 = \cdots = x_{2^{k-1}}
x_{2^{k-1}+1} = x_{2^{k-1}+2} = \cdots = x_{2^k}

(in which case the first arithmetic mean and first geometric mean are both equal to x۱، and similarly with the second arithmetic mean and second geometric mean)؛ and in the second inequality, the two sides are only equal if the two geometric means are equal. Since not all ۲k numbers are equal، it is not possible for both inequalities to be equalities، so we know that:

\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_{2^k}}{2^k} > \sqrt[2^k]{x_1 x_2 \cdots x_{2^k}}

پس حکم اثبات می‌شود.

حالتی که n < ۲k شود[ویرایش]

اگر n توان طبیعی از عدد ۲ نباشد، بنابراین واضح است که کمتر از برخی توان‌های طبیعی ۲ خواهد بود، چون عبارت ۲، ۴، ۸،... ، ۲k,... تا بی‌نهایت ادامه دارد. از این رو، بدون از دست دادن کلیت، می‌شود عدد m را که توانی طبیعی از ۲ است و از n بزرگتر است؛ در نظر گرفت.

بنابراین، اگر n جمله داشته‌باشیم و میانگین حسابی را با حرف α نشان و فهرست جملات را گسترش می‌دهیم؛ در نتیجه:

x_{n+1} = x_{n+2} = \cdots = x_m = \alpha.

سپس داریم:


\begin{align}
\alpha & = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \\[6pt]
& = \frac{\frac{m}{n} \left(x_1 + x_2 + \cdots + x_n \right)}{m} \\[6pt]
& = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n + \frac{m-n}{n} \left(x_1 + x_2 + \cdots + x_n \right)}{m} \\[6pt]
& = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n + \left(m-n \right) \alpha}{m} \\[6pt]
& = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n + x_{n+1} + \cdots + x_m}{m} \\[6pt]
& > \sqrt[m]{x_1 x_2 \cdots x_n x_{n+1} \cdots x_m} \\[6pt]
& = \sqrt[m]{x_1 x_2 \cdots x_n \alpha^{m-n}}\,,
\end{align}

بنابراین


\begin{align}
\alpha^m & > x_1 x_2 \cdots x_n \alpha^{m-n} \\[5pt]
\alpha^n & > x_1 x_2 \cdots x_n \\[5pt]
\alpha & > \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}
\end{align}

حکم اثبات می‌شود.

اثبات‌های قدیمی و کلاسیک[ویرایش]

ما باید آن را نشان دهیم:[۱]

\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n} \geq \left(x_1x_2 \ldots x_n\right)^{1/n}

اگر x_i\neq x_j سپس هردوی x_i و x_j را با \frac{x_i+x_j}{2} جایگرین می‌کنیم. سمت چپ تساوی تغییری نخواهد کرد، ولی سمت راست نابرابری افزایش می‌یابد.

\left(\frac{x_i+x_j}{2}\right)^2-x_ix_j=\left(\frac{x_i-x_j}{2}\right)^2\geq 0 

بنابراین سمت راست بزرگترین مقدار خواهد شد وقتی که همهٔ x_i‌ها مساوی باشند. \mu=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}، این بزرگترین مقدار عبارت سمت راست است. پس به این نتبجه می‌رسیم:

\left(x_1x_2 \ldots x_n\right)^{1/n}\leq \left(\mu\mu \ldots \mu\right)^{1/n}=
\mu=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}

جستارهای وابسته[ویرایش]

واژه‌نامه[ویرایش]

  1. Inequality of arithmetic and geometric means
  2. Cours d'analyse

منابع[ویرایش]

  1. Hall and Knight, Higher Algebra, 1887