میدان بسته جبری

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در جبر به F یک میدان بسته گویند اگر هر چندجمله‌ای‌ با یک متغیر از درجه ی حداقل ۱ و دارای ضریبی عضو F یک ریشه داخل F داشته‌باشد.

اعداد حقیقی یک میدان بسته نیست زیرا برای مثال چندجمله ایِ x۲ + ۱ = ۰ در اعداد حقیقی دارای ریشه نیست در حالیکه تمام ضرایب جملات آن حقیقی هستند و x دارای توانی بزرگتر مساوی یک می باشد. به همین ترتیب می توان گفت که هیچ زیرمیدانی از اعداد حقیقی هم میدان بسته ای نیست پس مجموعه ی اعداد گویا نیز میدان بسته ای نمی باشد. همچنین؛ هیچ میدان متناهیِ F نیز بسته نمی باشد.

اثبات: اگر اعضای F را a۱،a۲،...،an در نظر بگیریم، چند جمله ایِ x − a۱)(x − a۲) ··· (x − an) + ۱) دارای هیچ ریشه ای در F نمی باشد.

گاوس در قضیه ی اساسیِ جبر اثبات کرد که مجموعه ی اعداد مختلط یک میدان بسته است.