مونوئید

در جبر انتزاعی که شاخه‌ای از ریاضیات است، یک مونوئید یا تَکوار، یک ساختار جبری با یک عملگر دودویی و یک عضو خنثی است. مونوئید‌ها از آنجا که به طور طبیعی نیمگروه‌هایی با عضو خنثی هستند، در نظریهٔ نیمگروه مطالعه می‌شوند. مونوئید‌ها در شاخه‌های زیادی از ریاضیات وجود دارند. مونوئید‌ها، همچنین در علوم کامپیوتر به طور معمول استفاده می‌شوند، هم در جنبه‌های بنیادی آن و هم در برنامه نویسی عملی. مونوئید‌های انتقالی و مونوئید‌های نحوی در توصیف ماشین‌های حالت متناهی استفاده می‌شوند. برخی از نتیجه‌های مهم تر در مطالعهٔ مونوئید‌ها، نظریه کراهن-رودز (Krohn-Rhods) و مسئلهٔ (star height) هستند. تاریخچهٔ مونوئید‌ها را می توان در مقاله‌های مربوط به نیمگروها جستجو کرد.

تعریف

یک مونوئید یا تکوار، یک مجموعه S است، به همراه یک عملگر دودویی "." (که ضرب یا نقطه نامیده می‌شود) و دارای سه شرط زیر است:

بسته بودن

برای هر $a,b \in S$ نتیجهٔ عمل $a.b$ نیز در مجموعهٔ $S$ است.

شرکت پذیری

برای هر $a,b,c \in S$، داشته باشیم: $(a.b).c = a.(b.c)$

عضو خنثی

یک عنصر $e \in S$ وجود دارد که برای تمام عناصر $a \in S$ داشته باشیم: $e.a=a.e=a$.

این سه شرط را می‌توانیم به فرم ریاضیاتی به صورت زیر بنویسیم:

• بسته بودن: $\forall a,b \in S: a \cdot b \in S$,
• شرکت پذیری: $\forall a,b,c \in S: (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
• عضو خنثی: $\exists e \in S: \forall a \in S: e \cdot a = a \cdot e = a$.

به طور خلاصه‌تر، یک تکوار یک نیم‌گروه است، به همراه یک عضو خنثی. یک مونوئید اگر خاصیت معکوس‌پذیری برای هر عضو را داشته باشد، تشکیل یک گروه می‌دهد.

معمولا نماد عمل دودویی حذف می‌شود. مثلا $(ab)c = a(bc)$ و $ea=ae=a$. این طریق نوشتن لزوما این معنی را نمی‌دهد که متغیر‌ها اعدادی هستند که در هم ضرب می‌شوند، بلکه هر عمل یا عنصری می‌تواند استفاده شود، البته اگر خوش تعریف باشند.