معادله کوشی-اولر

معادله کوشی-اولر (به انگلیسی: Cauchy-Euler equation)‏ یا معادله اولر-کوشی به معادله دیفرانسیل معمولی خطی همگن با ضرایب متغیر گفته می‌شود. این معادله بصورت زیر بیان می‌شود:

$t^2u''+btu'+cu=0$

اگر جواب معادله را به صورت $u=t^m$ در نظر بگیریم، به معادله مشخصه زیر می‌رسیم:

$m(m-1)+bm+c=0$

• اگر معادله مشخصه دارای دو ریشه حقیقی $m_1$ و $m_2$ باشد به دو جواب مستقل $t^{m_1}$ و $t^{m_2}$ منجر می‌شود. بنابراین جواب کلی معادله بصورت زیر خواهد بود:

$u=c_1t^{m_1}+c_2t^{m_2}$

• اگر معادله مشخصه دو ریشهٔ برابر داشته باشد، $t^m$ و $t^mlnt$ دو جواب مستقل خواهند بود

$u=c_1t^{m}+c_2t^{m}lnt$

• اگر معادله مشخصه دارای جواب حقیقی نباشد ($m=\alpha\pm i\beta$)، جواب کلی بصورت زیر درمی‌آید:

‎$u=c_1t^\alpha cos(\beta lnt) + c_2t^\alpha sin(\beta lnt)$‎

منابع

• J. David Logan, A First Course in Differential Equations, Springer Science+Business Media, Inc., United States of America, 2006. ISBN 978-0-387-25963-5