معادله کوشی-اویلر

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
(تغییرمسیر از معادله کوشی-اولر)
پرش به: ناوبری، جستجو

معادله کوشی-اویلر (به انگلیسی: Cauchy-Euler equation) یا معادله اویلر-کوشی به معادله دیفرانسیل معمولی خطی همگن با ضرایب متغیر گفته می‌شود. این معادله بصورت زیر بیان می‌شود:

t^2u''+btu'+cu=0

اگر جواب معادله را به صورت u=t^m در نظر بگیریم، به معادله مشخصه زیر می‌رسیم:

m(m-1)+bm+c=0
  • اگر معادله مشخصه دارای دو ریشه حقیقی m_1 و m_2 باشد به دو جواب مستقل t^{m_1} و t^{m_2} منجر می‌شود. بنابراین جواب کلی معادله بصورت زیر خواهد بود:
u=c_1t^{m_1}+c_2t^{m_2}
  • اگر معادله مشخصه دو ریشهٔ برابر داشته باشد، t^m و t^mlnt دو جواب مستقل خواهند بود
u=c_1t^{m}+c_2t^{m}lnt
  • اگر معادله مشخصه دارای جواب حقیقی نباشد (m=\alpha\pm i\beta)، جواب کلی بصورت زیر درمی‌آید:
u=c_1t^\alpha cos(\beta lnt) + c_2t^\alpha sin(\beta lnt)

منابع[ویرایش]

  • J. David Logan, A First Course in Differential Equations, Springer Science+Business Media, Inc. , United States of America, 2006. ISBN 978-0-387-25963-5

جستارهای وابسته[ویرایش]