معادله ریکاتی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در مبحث ریاضیات . معادله ریکاتی یک معادله دیفرانسیل ساده ی مرتبه اول است . صورت عمومی معادله بصورت زیر است:

y'(x)=q0(x)+q1(x)y+q2(x)y^2

که اگر ترم اول در سمت راست معادله صفر شود تبدیل به معادله برنولی می شود.

تاریخچه و نحوه نامگذاری[ویرایش]

نام این معادله به افتخار جاکوبو ریکاتی،ریاضیدان ایتالیایی گذاشته شده است که مختصری از زندگی نامه این شخصیت بزرگوار و چگونگی نام گرفتن این معادله را شرح می دهیم. جاکوبو فرانچسکو ریکاتی در 28 می 1676 در شهر ونیز ایتالیا به دنیا آمد. تحصیلات ابتدایی را در مدرسه جسوت در برشا گذراند . در سال 1693 وارد دانشگاه پادوآ شد و در سال 1696 موفق به اخذ مدرک دکترا در رشته ی حقوق شد . با تشویق از سوی استفانو آنجلی برای دنبال کردن ریاضیات ، ریکاتی شروع به تحصیل در رشته آنالیز ریاضی کرد . بعد از آن او پیشنهاد های زیادی دریافت کرد . ولی او همه ی پیشنهادات را رد کرده و زندگی خود را وقف آنالیز ریاضی کرد . پیوتر اول ، امپراطور وقت روسیه از او دعوت کرد تا به عنوان رییس دانشکده علوم سن پطرزبورگ ادامه فعالیت دهد. او همچنان به عنوان مشاور امپراطوری در وین دعوت شد . با این وجود او همه ی این پیشنهادات را رد کرد. بعضی از کارهای او در مبحث چند جمله ای ها ، با همکاری ماریا آنیسی و به درخواست او در یک کتاب جمع آوری شد. بعداز آن این معادله به این نام نامگذاری شد.

روش ساده کردن معادله و تبدیل به معادله مرتبه دوم ساده[ویرایش]

از تغییر متغیر v=q_2y استفاده می کنیم بنابراین:

v'=(yq_2)'= y'q_2 +yq_2'=(q_0+q_1 y + q_2 y^2)q_2 + v \frac{q_2'}{q_2}=q_0q_2  +\left(q_1+\frac{q_2'}{q_2}\right) v + v^2

S و R را بصورت زیر تعریف می کنیم:

S=q_2q_0 و R=q_1+\left(\frac{q_2'}{q_2}\right)

با جای گذاری v=-u'/u داریم:

v'=-(u'/u)'=-(u''/u) +(u'/u)^2=-(u''/u)+v^2

وصورت ساده شده معادله یه صورت زیر خواهد بود:

u'' -Ru' +Su=0.\!

یافتن جواب عمومی معادله با دانستن یک جواب[ویرایش]

برای یافتن جواب عمومی معادله ابتدا یک جواب معادله را پیدا می کنیم.

با جایگذاری y = y_1 + u در معادله داریم:

 y_1' + u' = q_0 + q_1 \cdot (y_1 + u) + q_2 \cdot (y_1 + u)^2,

و باتوجه به اینکه :

 y_1' = q_0 + q_1 \, y_1 + q_2 \, y_1^2
 u' = q_1 \, u + 2 \, q_2 \, y_1 \, u + q_2 \, u^2

یا:

 u' - (q_1 + 2 \, q_2 \, y_1) \, u = q_2 \, u^2,

که این معادله تبدیل به معادله برنولی می شود. از تغییر متغیر  y = y_1 + \frac{1}{z} استفاده می کنیم. پس داریم:

 z' + (q_1 + 2 \, q_2 \, y_1) \, z = -q_2

که Z یک جواب عمومی برای معادله است.



جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

  • مقاصدی-طباطبایی-دوستی. «دوم». در مقدمه‌ای بر معادلات دیفرانسیل. چاپ اول. روشنگران امروز، ۱۳۸۶. ۴۱. ISBN 978-964-90745-9-7.