مشخصه اویلر

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
(تغییرمسیر از مشخصه اولر)
پرش به: ناوبری، جستجو

مشخصه اویلر یا مشخصه اویلر-پوانکاره، در ریاضیات و به‌ویژه در توپولوژی جبری و ترکیب‌شناسی چندوجهی‌ها، یک ناوردای توپولوژیکی بوده و عددی است که شکل فضای توپولوژیک را صرف‌نظر از چگونگی خم‌شدن آن توصیف می‌کند. این پارامتر، معمولاً با \chi\, (حرف یونانی خی) نمایش داده می‌شود.

مشخصهٔ اویلر، در آغاز برای چندوجهی‌ها تعریف شده و برای اثبات قضیه‌های مختلفی در مورد چندوجهی‌ها و تقسیم‌بندی اجسام افلاطونی به کار رفت. لئونارد اویلر که این پارامتر به نام اوست، عمدهٔ این کارهای اولیه را انجام داد. بعدها در ریاضیات مدرن، این مفهوم در همولوژی کاربرد پیدا کرد.

چندوجهی‌ها[ویرایش]

مشخصه اویلر \chi ابتدا برای چندوجهی‌ها به‌صورت زیر تعریف شد[۱]:

\chi=V-E+F \,\!

که V، E و F به‌ترتیب تعداد رأس‌ها، اضلاع و وجه‌های چندوجهی هستند. مشحصهٔ اویلر برای هر چندوجهی کوژ به‌صورت زیر است:

\chi = V - E + F = 2. \,\!

این نتیجه با عنوان فرمول چندوجهی اویلر یا قضیهٔ چندوجهی اویلر شناخته می‌شود. بررسی این رابطه در مورد چندوجهی‌های مختلف در جدول زیر نشان داده شده‌است:

Name Image رأس‌ها
V
اضلاع
E
وجه‌ها
F
مشخصهٔ اویلر:
VE + F
چهاروجهی Tetrahedron.png ۴ ۶ ۴ ۲
مکعب Hexahedron.png ۸ ۱۲ ۶ ۲
هشت‌وجهی Octahedron.png ۶ ۱۲ ۸ ۲
دوازده‌وجهی Dodecahedron.png ۲۰ ۳۰ ۱۲ ۲
بیست‌وجهی Icosahedron.png ۱۲ ۳۰ ۲۰ ۲

سطح چندوجهی‌های غیرکوژ، می‌تواند مشخصه‌های اویلر متفاوتی داشته باشد:

Image رأس‌ها
V
اضلاع
E
وجه‌ها
F
مشخصهٔ اویلر:
VE + F
Tetrahemihexahedron.png ۶ ۱۲ ۷ ۱
Octahemioctahedron.png ۱۲ ۲۴ ۱۲ ۰
Cubohemioctahedron.png ۱۲ ۲۴ ۱۰ −۲
Great icosahedron.png ۱۲ ۳۰ ۲۰ ۲

مثال[ویرایش]

مشخصه اویلر می‌تواند برای سطوح عمومی به آسانی و با چندضلعی‌کردن سطوح و استفاده از تعریف بالا محاسبه شود:

Name Image Euler characteristic
بازه Complete graph K2.svg ۱
دایره Cirklo.svg ۰
قرص Disc Plain grey.svg ۱
کره Sphere-wireframe.png ۲
چنبره Torus illustration.png ۰
چنبره دوتایی Double torus illustration.png ۲-
چنبره سه‌تایی Triple torus illustration.png ۴-
نوار موبیوس MobiusStrip-01.png ۰
بطری کلاین KleinBottle-01.png ۰
دو کره Sphere-wireframe.pngSphere-wireframe.png ۴=۲+۲
سه کره Sphere-wireframe.pngSphere-wireframe.pngSphere-wireframe.png ۶=۲+۲+۲

جستارهای وابسته[ویرایش]

پانویس[ویرایش]

  1. «Euler Characteristic». MathWorld. بازبینی‌شده در ۱۲ آوریل ۲۰۱۴.