مشتق کل

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
حساب دیفرانسیل و انتگرال
قضیه اساسی حسابان
حد
تابع پیوسته
قضیه مقدار میانگین
مشتق
تغییر متغیر
مشتق ضمنی
قضیه تیلور
کمیت‌های وابسته ‏(en)
قواعد مشتق‌گیری:

قاعده توانی ‏(en)
قاعده ضرب
قاعده خارج قسمت ‏(en)
قاعده زنجیری

در حساب دیفرانسیل و انتگرال، عبارت مشتق کل یا مشتق تام یا مشتق کامل برای چند مفهوم مختلف به‌کار می‌رود:

  • مشتق کل یک تابع f با چندین متغیر، برای نمونه t، x، y و... نسبت به یکی از متغیرهایش مانند t با مشتق پاره‌ای آن (\partial) نسبت به آن متغیر متفاوت است. برای محاسبهٔ مشتق کل یک تابع f نسبت به t، فرض نمی‌شود که متغیرهای دیگر ثابت‌اند در حالی‌که t تغییر می‌کند. در عوض، اجازه داده می‌شود که متغیرهای دیگر هم به t وابسته باشد. مشتق کل، این وابستگی‌های غیرمستقیم را هم در نظر می‌گیرد تا نشان‌دهندهٔ وابستگی کلی تابع f نسبت به t باشد. برای مثال، مشتق کل f(t,x,y) نسبت به t به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:[۱]
    \frac{\operatorname df}{\operatorname dt}=\frac{\partial f}{\partial t} \frac{\operatorname dt}{\operatorname dt} + \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\operatorname dx}{\operatorname dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\operatorname dy}{\operatorname dt}.
    که به‌صورت زیر ساده می‌شود:
    \frac{\operatorname df}{\operatorname dt}=\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\operatorname dx}{\operatorname dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\operatorname dy}{\operatorname dt}.
    با ضرب‌کردن رابطهٔ بالا در دیفرانسیل \operatorname dt:
    {\operatorname df}=\frac{\partial f}{\partial t}\operatorname dt + \frac{\partial f}{\partial x} \operatorname dx + \frac{\partial f}{\partial y} \operatorname dy.
    نتیجه، تغییر جزئی \operatorname df در مقدار تابع f خواهد بود. با توجه به اینکه تابع f به متغیر t وابسته است، بخشی از این تغییر ناشی از مشتق پاره‌ای f نسبت به t خواهد بود. با این حال، بخشی از این تغییر هم ناشی از مشتق‌های پاره‌ای تابع f نسبت به متغیرهای x و y خواهد بود.
  • مشتق کل می‌تواند به یک عملگر دیفرانسیلی مانند عملگر زیر اشاره کند:
    \frac{\operatorname d}{\operatorname dx}= \frac{\partial }{\partial x}+\sum_{j=1}^k \frac{\operatorname dy_j}{\operatorname dx}\frac{\partial }{\partial y_j},
    که مشتق کل یک تابع را (در این مثال نسبت به x) محاسبه می‌کند.
  • مشتق کل، می‌تواند به دیفرانسیل کامل \operatorname df یک تابع، چه در زبان سنتی مقادیر جزئی و چه در زبان مدرن فرم‌های دیفرانسیلی اشاره کند.
  • یک دیفرانسیل به فرم
    \sum_{j=1}^k f_j(x_1,\dots, x_k) \operatorname d{x_j}
    مشتق کل یا مشتق دقیق نامیده می‌شود اگر دیفرانسیل یک تابع باشد. این هم می‌تواند به صورت مقادیر جزئی و یا با استفاده از فرم‌های دیفرانسیلی و مشتق خارجی تعبیر شود.
  • مشتق کل به‌عنوان نام دیگر مشتق به عنوان یک نگاشت خطی به‌کار می‌رود. به‌عنوان مثال، اگر f یک تابع مشتق‌پذیر از \mathbb{R}^n به \mathbb{R}^m باشد، سپس مشتق کل f در x \in \mathbb{R}^n ، یک نگاشت خطی از \mathbb{R}^n به \mathbb{R}^m خواهد بود که ماتریس آن، ماتریس ژاکوبی f در x است.
  • مشتق کل به‌عنوان مترادف گرادیان که مشتق یک تابع از \mathbb{R}^n به \mathbb{R} است، به‌کار می‌رود.

پانویس[ویرایش]

  1. «Total Derivative»(انگلیسی)‎. MathWorld. بازبینی‌شده در ۷ دسامبر ۲۰۱۲.