مشتق کل

حساب دیفرانسیل و انتگرال

قضیه اساسی حسابان حد تابع پیوسته قضیه مقدار میانگین حساب دیفرانسیل  مشتق تغییر متغیر مشتق ضمنی قضیه تیلور کمیت‌های وابسته ‏(en)‏ قواعد مشتق‌گیری ‏(en)‏: قاعده توانی ‏(en)‏ قاعده ضرب قاعده خارج قسمت ‏(en)‏ قاعده زنجیری حساب انتگرال  انتگرال فهرست‌های انتگرال‌ها انتگرال مجازی قواعد انتگرال‌گیری: انتگرال‌گیری جزء به جزء Disk integration ‏(en)‏ Shell integration ‏(en)‏ انتگرال‌گیری با جانشانی ‏(en)‏ جانشانی مثلثاتی کسر جزئی در انتگرال‌ها ‏(en)‏ مرتبه انتگرال‌گیری ‏(en)‏ حساب برداری  گرادیان دیورژانس کرل عملگر لاپلاس قضیه گرادیان قضیه گرین قضیه استوکس قضیه دیورژانس حساب چندمتغیره  حساب ماتریس‌ها مشتق پاره‌ای انتگرال چندگانه انتگرال خطی انتگرال سطحی انتگرال حجمی ماتریس ژاکوبی

در حساب دیفرانسیل و انتگرال، عبارت مشتق کل یا مشتق تام یا مشتق کامل برای چند مفهوم مختلف به‌کار می‌رود:

• مشتق کل یک تابع $f$ با چندین متغیر، برای نمونه $t$، $x$، $y$ و... نسبت به یکی از متغیرهایش مانند $t$ با مشتق پاره‌ای آن ($\partial$) نسبت به آن متغیر متفاوت است. برای محاسبهٔ مشتق کل یک تابع $f$ نسبت به $t$، فرض نمی‌شود که متغیرهای دیگر ثابت‌اند در حالی‌که $t$ تغییر می‌کند. در عوض، اجازه داده می‌شود که متغیرهای دیگر هم به $t$ وابسته باشد. مشتق کل، این وابستگی‌های غیرمستقیم را هم در نظر می‌گیرد تا نشان‌دهندهٔ وابستگی کلی تابع $f$ نسبت به $t$ باشد. برای مثال، مشتق کل $f(t,x,y)$ نسبت به $t$ به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

  $\frac{\operatorname df}{\operatorname dt}=\frac{\partial f}{\partial t} \frac{\operatorname dt}{\operatorname dt} + \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\operatorname dx}{\operatorname dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\operatorname dy}{\operatorname dt}.$

  که به‌صورت زیر ساده می‌شود:

  $\frac{\operatorname df}{\operatorname dt}=\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\operatorname dx}{\operatorname dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\operatorname dy}{\operatorname dt}.$

  با ضرب‌کردن رابطهٔ بالا در دیفرانسیل $\operatorname dt$:

  ${\operatorname df}=\frac{\partial f}{\partial t}\operatorname dt + \frac{\partial f}{\partial x} \operatorname dx + \frac{\partial f}{\partial y} \operatorname dy.$

  نتیجه، تغییر جزئی $\operatorname df$ در مقدار تابع $f$ خواهد بود. با توجه به اینکه تابع $f$ به متغیر $t$ وابسته است، بخشی از این تغییر ناشی از مشتق پاره‌ای $f$ نسبت به $t$ خواهد بود. با این حال، بخشی از این تغییر هم ناشی از مشتق‌های پاره‌ای تابع $f$ نسبت به متغیرهای $x$ و $y$ خواهد بود.

• مشتق کل می‌تواند به یک عملگر دیفرانسیلی مانند عملگر زیر اشاره کند:

  $\frac{\operatorname d}{\operatorname dx}= \frac{\partial }{\partial x}+\sum_{j=1}^k \frac{\operatorname dy_j}{\operatorname dx}\frac{\partial }{\partial y_j},$

  که مشتق کل یک تابع را (در این مثال نسبت به $x$) محاسبه می‌کند.

• مشتق کل، می‌تواند به دیفرانسیل کامل $\operatorname df$ یک تابع، چه در زبان سنتی مقادیر جزئی و چه در زبان مدرن فرم‌های دیفرانسیلی اشاره کند.

• یک دیفرانسیل به فرم

  $\sum_{j=1}^k f_j(x_1,\dots, x_k) \operatorname d{x_j}$

  مشتق کل یا مشتق دقیق نامیده می‌شود اگر دیفرانسیل یک تابع باشد. این هم می‌تواند به صورت مقادیر جزئی و یا با استفاده از فرم‌های دیفرانسیلی و مشتق خارجی تعبیر شود.

• مشتق کل به‌عنوان نام دیگر مشتق به عنوان یک نگاشت خطی به‌کار می‌رود. به‌عنوان مثال، اگر $f$ یک تابع مشتق‌پذیر از $\mathbb{R}^n$ به $\mathbb{R}^m$ باشد، سپس مشتق کل $f$ در $x \in \mathbb{R}^n$، یک نگاشت خطی از $\mathbb{R}^n$ به $\mathbb{R}^m$ خواهد بود که ماتریس آن، ماتریس ژاکوبی $f$ در $x$ است.

• مشتق کل به‌عنوان مترادف گرادیان که مشتق یک تابع از $\mathbb{R}^n$ به $\mathbb{R}$ است، به‌کار می‌رود.

• مشتق کل، گاهی اوقات به‌عنوان مترادف مشتق مادی ($\frac{D\mathbf{u}}{Dt}$) در مکانیک شاره‌ها به‌کار می‌رود.