مسئله پایان خوش

مسئلهٔ پایان خوش: هر مجموعه‌ای شامل پنج نقطه با موقعیت عمومی، دارای رئوس یک چهارضلعی محدب هستند..

مسئلهٔ پایان خوش (که توسط پل اردیش نامگذاری شده‌است، چرا که به ازدواج جورج سیکریس و استر کلاین منجر شد) گزارهٔ ذیل است:

قضیه. هر مجموعهٔ پنج تایی از نقاط در صفحه که دارای موقعیت عمومی هستند، یک زیرمجموعهٔ متشکل از چهار نقطه دارد که این نقاط رأس‌های یک چهار ضلعی محدب را تشکیل می‌دهند.

این قضیه یکی از نتایج اصلی است که منجر به ظهور نظریهٔ رمزی شد.

قضیهٔ پایان خوش، با تحلیل یک حالت ساده اثبات می‌شود: اگر چهار یا تعداد بیش‌تری نقطه، رأس‌های یک بدنهٔ محدب باشند، هر چهار نقطه‌ای به این شکل می‌توانند انتخاب شوند. از طرفی دیگر، اگر مجموعهٔ نقاط به فرم یک مثلث با دو نقطه درون آن باشند، دو نقطهٔ درونی و یکی از اضلاع مثلث می‌توانند انتخاب شوند. برای توضیح مصور این اثبات، پترسون (۲۰۰۰) را ببینید و برای بررسی دقیق‌تر این مسئله نسبت به آنچه اینجا ارائه شده‌است، موریس و سالتن (۲۰۰۰) را ببینید.

تخمین اردوش-سیکریس رابطهٔ کلی بین تعداد نقاطی که در یک مجموعهٔ نقاط با موقعیت عمومی هستند و بزرگ‌ترین چندضلعی محدب آن را به‌طور دقیق بیان می‌کند. این مسئله اثبات‌نشده باقی می‌ماند، اما مرزهای دقیق کم‌تری شناخته شده‌است.

چندضلعی‌های درجهٔ بالاتر

یک مجموعه از ۸ نقطه با موقعیت عمومی و بدون پنج‌ضلعی محدب.

دو دانشمند به نام‌های اردوش و سیکریس این قضیه را به صورت زیر تعمیم داده‌اند:

قضیه. برای هر عدد صحیح مثبت N، هر مجموعهٔ بزرگ ناتهی و کافی از نقاط در صفحه که هیچ سه تایی از آن‌ها روی یک خط نباشند و هیچ دوتایی از آن‌ها روی هم نباشند (موقعیت عمومی)، شامل یک زیرمجموعه از N نقطه است که رئوس چندضلعی محدب را تشکیل می‌دهند.

اثبات قضیه اردیش–ژکرس در مقاله‌ای که قضیهٔ زیردنباله‌های یکنواخت در دنباله‌های عددی را اثبات می‌کند آمده است.

فرض کنید (f(N کمترین مقدار M را نشان دهد که برای هر مجموعه از M نقطه در موقعیت عمومی یک Nضلعی محدب وجود داشته باشد. داریم:

• f(۳) = ۳، بدیهی.
• f(۴) = ۵.
• f(۵) = ۹. مجموعه‌ای از هشت نقطه که پنج ضلعی محدب ندارند در شکل نشان داده شده‌است، که نشان می‌دهد f(5)> ۸ است. قسمت دشوارتر اثبات این است که نشان دهیم هر مجموعه از ۹ نقطه در وضعیت معمولی دارای رئوس یک پنج‌ضلعی محدب است.
• f(۶) = ۱۷.
• مقدار f برای اعداد بیشتر از ۶ نامعلوم است، اما با توجه به نتیجهٔ مقالهٔ اردوش-سیکریس (۱۹۳۵) می‌دانیم مقدار متناهی دارد.

بر مبنای مقادیر مشخص (f(N، یعنی برای N = ۳, ۴, ۵، اردوش و سیکریس در مقالهٔ اصلی خود رابطهٔ زیر را تخمین زدند:
به ازای هر N ≥ ۳

$f(N)=1+2^{N-2}$

بعدها این دو نفر با زدن مثال‌های خارجی دیگر ثابت کردند که:

$f(N)\geq 1+2^{N-2}$

اما بهترین کران بالا برای حالت‌هایی که N ≥ ۷ است، به صورت زیر است:

$f(N)\leq {2N-5 \choose N-2}+1=O\left({\frac {4^{N}}{\sqrt {N}}}\right)$

چندضلعی‌های خالی

ممکن است سؤال پیش بیاید که آیا برای هر مجموعهٔ کافی از نقاط در موقعیت عمومی دارای یک چهارضلعی، پنج‌ضلعی و.. هست یا نه، به این معنی که نیاز به نقطه ورودی جدید نداشته باشد. راه حل اصلی مسئلهٔ پایان خوش را می‌توان طوری تطابق داد که نشان دهد به ازای هر پنج نقطه با وضعیت موقعیت عمومی در صفحه یک چهارضلعی محدب خالی وجود دارد، همان‌طور که در تصویر نشان داده شده، و به ازای هر ده نقطه با شرایط فوق یک پنج‌ضلعی محدب خالی وجود دارد. اگرچه مجموعه‌های بزرگ و دلخواهی از نقاط با موقعیت عمومی ممکن است وجود داشته باشند که هیچ هفت‌ضلعی خالی برای آن‌ها یافت نشود.
برای مدت طولانی این سؤال که آیا شش‌ضلعی خالی وجود دارد یا نه، بدون پاسخ ماند، ولی نیکولاس (۲۰۰۷) و گرکن (۲۰۰۸) ثابت کردند که به ازای هر مجموعهٔ کافی از نقاط با موقعیت عمومی در صفحه یک شش‌ضلعی محدب خالی وجود دارد. به صورت خاص، گرکن نشان داد که تعداد نقاط مورد نیاز بیشتر از (f(۹ نیست. (f در بالا تعریف شده) درحالیکه نیکولاس نشان داد این مقدار حداکثر به اندازهٔ (f(۲۵ است. (Valtr(۲۰۰۶ اثبات گرکن را ساده می‌کند و نشان می‌دهد که به نقاط بیشتری از (f(۹، یعنی به اندازهٔ (f(۱۵ که برابر ۳۰ نقطه می‌شود، نیاز داریم، چرا که یک مجموعه از ۲۹ نقطه در موقعیت عمومی در صفحه وجود دارد که برای آن شش‌ضلعی محدب خالی وجود ندارد.

مسائل مرتبط

مسئلهٔ پیدا کردن مجموعه‌عای شامل n نقطه به طوری که تعداد چندضلعی‌های محدب را کمینه کند، مشابه کمینه‌کردن تعداد عبور در یک ترسیمِ خطِ مستقیمِ یک گراف کامل است. تعداد چندضلعی‌ها باید متناسب با توان چهارم n باشد، اما مقدار ثابت دقیقی، مشخص نیست. به‌طور سرراست می‌توان نشان داد که در فضای اقلیدسی با ابعاد بالاتر، مجموعه‌های به اندازهٔ کافی بزرگ از نقاط، یک زیرمجموعه از k نقطه خواهند داشت که رأس‌های یک چندبر محدب را تشکیل می‌دهند، برای هر k بزرگ‌تر از بُعد: این مسئله خیلی سریع از موجود بودن k-ضلعی محدب در مجموعه‌های نقاط مسطح به اندازهٔ کافی بزرگ پیروی می‌کند، به این صورت که مجموعه نقاط با ابعاد بالاتر را در یک شبه فضای دوبعدی اختیاری طراحی می‌کند. اما تعداد نقاط لازم برای پیدا کردن K نقطه در حالت محدب ممکن است در ابعاد بالاتر نسبت به حالتی که در صفحه است، کم‌تر باشد، و همچنین پیدا کردن زیرمجموعه‌هایی که محدودتر هستند، امکان‌پذیر است. به‌طور مشخص، در d بعد، هر d + ۳ نقطه در موقعیت عمومی، یک زیرمجموعه از d + ۲ نقطه دارد که رئوس یک چندبر چرخه‌ای را تشکیل می‌دهند. در حالت کلی‌تر، برای هر d و k> d، عدد (m(d, k وجود دارد به گونه‌ای که هر مجموعه از (m(d, k نقطه در موقعیت عمومی یک زیر مجموعه از k نقطه خواهد داشت که رئوس یک چندبر همسایگی را تشکیل می‌دهد.

منابع

• Chung, F.R.K.; Graham, R.L. (1998), "Forced convex n-gons in the plane", Discrete and Computational Geometry, ۱۹ (۳): ۳۶۷–۳۷۱, doi:10.1007/PL00009353.
• Erdős, P.; Szekeres, G. (1935), "A combinatorial problem in geometry", Compositio Math, ۲: ۴۶۳–۴۷۰.
• Erdős, P.; Szekeres, G. (1961), "On some extremum problems in elementary geometry", Ann. Univ. Sci. Budapest. Eötvös Sect. Math., ۳–۴: ۵۳–۶۲. Reprinted in: Erdős, P. (1973), Spencer, J. (ed.), The Art of Counting: Selected Writings, Cambridge, MA: MIT Press, pp. ۶۸۰–۶۸۹.
• Gerken, Tobias (2008), "Empty convex hexagons in planar point sets", Discrete and Computational Geometry, ۳۹ (۱–۳): ۲۳۹–۲۷۲, doi:10.1007/s00454-007-9018-x.
• Grünbaum, Branko (2003), Kaibel, Volker; Klee, Victor; Ziegler, Günter M. (eds.), Convex Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, vol. 221 (2nd ed.), اشپرینگر ساینس+بیزینس مدیا, ISBN 0-387-00424-6.
• Harborth, Heiko (1978), "Konvexe Fünfecke in ebenen Punktmengen", Elem. Math., ۳۳ (۵): ۱۱۶–۱۱۸.
• Horton, J. D. (1983), "Sets with no empty convex 7-gons", Canadian Mathematical Bulletin, ۲۶ (۴): ۴۸۲–۴۸۴, doi:10.4153/CMB-1983-077-8.
• Kalbfleisch, J.D.; Kalbfleisch, J.G.; Stanton, R.G. (1970), "A combinatorial problem on convex regions", Proc. Louisiana Conf. Combinatorics, Graph Theory and Computing, Congressus Numerantium, vol. ۱, Baton Rouge, La.: Louisiana State Univ., pp. ۱۸۰–۱۸۸.
• Kleitman, D.J.; Pachter, L. (1998), "Finding convex sets among points in the plane", Discrete and Computational Geometry, ۱۹ (۳): ۴۰۵–۴۱۰, doi:10.1007/PL00009358.
• Morris, W.; Soltan, V. (2000), "The Erdős-Szekeres problem on points in convex position—A survey", Bulletin of the American Mathematical Society, ۳۷ (۰۴): ۴۳۷–۴۵۸, doi:10.1090/S0273-0979-00-00877-6.
• Nicolás, Carlos M. (2007), "The empty hexagon theorem", Discrete and Computational Geometry, ۳۸ (۲): ۳۸۹–۳۹۷, doi:10.1007/s00454-007-1343-6.
• Overmars, M. (2003), "Finding sets of points without empty convex 6-gons", Discrete and Computational Geometry, ۲۹ (۱): ۱۵۳–۱۵۸, doi:10.1007/s00454-002-2829-x.
• Peterson, Ivars (2000), "Planes of Budapest", MAA Online.
• Scheinerman, Edward R.; Wilf, Herbert S. (1994), "The rectilinear crossing number of a complete graph and Sylvester's "four point problem" of geometric probability", American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 101 (۱۰): ۹۳۹–۹۴۳, doi:10.2307/2975158, JSTOR ۲۹۷۵۱۵۸.
• Szekeres, G.; Peters, L. (2006), "Computer solution to the 17-point Erdős-Szekeres problem", ANZIAM Journal, ۴۸ (۰۲): ۱۵۱–۱۶۴, doi:10.1017/S144618110000300X, archived from the original on 13 December 2019, retrieved 11 December 2013.
• Tóth, G.; Valtr, P. (1998), "Note on the Erdős-Szekeres theorem", Discrete and Computational Geometry, ۱۹ (۳): ۴۵۷–۴۵۹, doi:10.1007/PL00009363.
• Tóth, G.; Valtr, P. (2005), "The Erdős-Szekeres theorem: upper bounds and related results", Combinatorial and computational geometry, Mathematical Sciences Research Institute Publications, no. ۵۲, pp. ۵۵۷–۵۶۸.
• Valtr, P. (2006), On the empty hexagons.

پیوند به بیرون

• Happy ending problem بایگانی‌شده در ۲۵ سپتامبر ۲۰۰۶ توسط Wayback Machine and Ramsey-theoretic proof of the Erdős-Szekeres theorem بایگانی‌شده در ۲۵ سپتامبر ۲۰۰۶ توسط Wayback Machine on پلنت‌مث
• Weisstein, Eric W. "Happy End Problem". MathWorld.