مسئله‌های آپولونیوس

مساله آپولونیوس به تعدادی مسئله در هندسه مسطحه اقلیدسی اطلاق می‌شود که در آن‌ها نحوه رسم یک دایره با سه ویژگی خاص، تنها با استفاده از خط کش غیر مندرج و پرگار، مورد پرسش قرار گرفته‌است.

مسایل

فرض کنید سه علامت زیر نمایانگر سه جمله مشخص شده باشند.

از یک نقطه مفروض بگذرد $\;c=$

بر یک خط مفروض مماس باشد $\;L=$

بر یک دایره مفروض مماس باشد $\;L=$

حال مساله زیر را در نظر بگیریذ.

دایره‌ای رسم کنید که c و L وL

اگر به جای علامت سوال‌ها هر یک از سه حرف $\; P$ یا $\; L$ یا $\; C$ را قرار دهیم یک مساله به دست می‌آید. بنابراین با حذف حالات تکراری در کل 10 مساله به دست خواهد آمد. این 10 مساله، مساله‌های آپولونیوس نام دارند. برای مثال اگر $\; PLL$ را جاگذاری کنیم، این مساله به دست می‌آید: دایره‌ای رسم کنید که بر دو خط مفروض مماس بوده و از یک نقطه مفروض نیز بگذرد.

$\;PPP$

این مساله در واقع رسم دایره محیطی یک مثلث است که به راحتی با رسم عمود منصف دو ضلع، مرکز دایره، که همان محل تقاطع دو عمود منصف است، به دست می آید. علت آن این است که چون همه نقاط روی عمود منصف، فاصله یکسان از دو سر آن دارند، پس محل تقاطع آن دو، فاصله برابری از هر سه راس دارد. بنابراین روش رسم آن اینگونه خواهد بود:

به مرکز یکی از رئوس یک دایره می زنیم، بدون تغییر شعاع به مرکز راسی دیگر دایره ای دیگر رسم می کنیم، حال خط واصل دو محل تقاطع دو دایره، عمود منصف ضلعی است که آن دو راس، دو سر آن اند. به همین روش عمود منصف ضلعی دیگر را رسم می کنیم. حال نوک تیز پرگار را روی محل تقاطع دو عمود منصف و نوک دیگر آن را روی یکی از رئوس می گذاریم و دایره مطلوب را رسم می کنیم.

منابع

هندسه مسطحه، ناتان آلتشیلر کورت، انتشارات فاطمی