مسئله پایان خوش

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
(تغییرمسیر از مسأله پایان خوش)
پرش به: ناوبری، جستجو
مسئله‌ی پایان خوش: هر مجموعه‌ای شامل پنج نقطه با موقعیت عمومی، دارای رئوس یک چهارضلعی محدب هستند..

مسئله‌ی پایان خوش (که توسط پل اردیش نامگذاری شده است، چرا که به ازدواج جورج سیکریس و استر کلاین منجر شد) گزاره‌ی ذیل است:

قضیه. هر مجموعه‌ی پنج تایی از نقاط در صفحه که دارای موقعیت عمومی[۱] هستند، یک زیرمجموعه‌ی متشکل از چهار نقطه دارد که این نقاط رأس‌های یک چهار ضلعی محدب را تشکیل می‌دهند.

این قضیه یکی از نتایج اصلی است که منجر به ظهور نظریه‌ی رمزی شد.

قضیه‌ی پایان خوش، با تحلیل یک حالت ساده اثبات می‌شود: اگر چهار یا تعداد بیش‌تری نقطه، رأس‌های یک بدنه‌ی محدب باشند، هر چهار نقطه‌ای به این شکل می‌توانند انتخاب شوند. از طرفی دیگر، اگر مجموعه‌ی نقاط به فرم یک مثلث با دو نقطه درون آن باشند، دو نقطه‌ی درونی و یکی از اضلاع مثلث می‌توانند انتخاب شوند. برای توضیح مصور این اثبات، پترسون (۲۰۰۰) را ببینید و برای بررسی دقیق‌تر این مسئله نسبت به آنچه اینجا ارائه شده است، موریس و سالتن (۲۰۰۰) را ببینید.

تخمین اردوش-سیکریس رابطه‌ی کلی بین تعداد نقاطی که در یک مجموعه‌ی نقاط با موقعیت عمومی هستند و بزرگ‌ترین چندضلعی محدب آن را به طور دقیق بیان می‎کند. این مسئله اثبات‌نشده باقی می‌ماند، اما مرزهای دقیق کم‌تری شناخته شده است.

چندضلعی‌های درجه‌ی بالاتر[ویرایش]

یک مجموعه از ۸ نقطه با موقعیت عمومی و بدون پنج‌ضلعی محدب.

دو دانشمند به نام‌های اردوش و سیکریس این قضیه را بصورت زیر تعمیم داده‌اند:

قضیه. برای هر عدد صحیح مثبت N، هر مجموعه‌ی بزرگ ناتهی و کافی از نقاط در صفحه که هیچ سه تایی از آن‌ها روی یک خط نباشند و هیچ دوتایی از آن‌ها روی هم نباشند (موقعیت عمومی)، شامل یک زیرمجموعه از N نقطه است که رئوس چندضلعی محدب را تشکیل می‌دهند.

اثبات قضیه اردیش–ژکرس در مقاله‌ای که قضیه‌ی زیردنباله‌های یکنواخت در دنباله‌های عددی را اثبات می‌کند آمده است.

فرض کنید (f(N کمترین مقدار M را نشان دهد که برای هر مجموعه از M نقطه در موقعیت عمومی یک Nضلعی محدب وجود داشته باشد. داریم:

  • f(۳) = ۳ ، بدیهی.
  • f(۴) = ۵. [۲]
  • f(۵) = ۹. [۳] مجموعه‌ای از هشت نقطه که پنج ضلعی محدب ندارند در شکل نشان داده شده است، که نشان می‌دهد f(۵)> ۸ است. قسمت دشوارتر اثبات این است که نشان دهیم هر مجموعه از ۹ نقطه در وضعیت معمولی دارای رئوس یک پنج‌ضلعی محدب است.
  • f(۶) = ۱۷. [۴]
  • مقدار f برای اعداد بیشتر از ۶ نامعلوم است، اما با توجه به نتیجه‌ی مقاله‌ی اردوش-سیکریس (۱۹۳۵) می‌دانیم مقدار متناهی دارد.

بر مبنای مقادیر مشخص (f(N، یعنی برای N = ۳, ۴, ۵، اردوش و سیکریس در مقاله‌ی اصلی خود رابطه‌ی زیر را تخمین زدند:
به ازای هر N ≥ ۳

f(N) = 1 + 2^{N-2}


بعدها این دو نفر با زدن مثال‌های خارجی دیگر ثابت کردند که:

اما بهترین کران بالا برای حالت‌هایی که N ≥ ۷ است، بصورت زیر است: [۶]

f(N) \leq {2N-5 \choose N-2} + 1 = O\left(\frac{4^N}{\sqrt N}\right)

چندضلعی‌های خالی[ویرایش]

ممکن است سوال پیش بیاید که آیا برای هر مجموعه‌ی کافی از نقاط در موقعیت عمومی دارای یک چهارضلعی، پنج‌ضلعی و.. هست یا نه، به این معنی که نیاز به نقطه ورودی جدید نداشته باشد. راه حل اصلی مسئله‌ی پایان خوش را می‌توان طوری تطابق داد که نشان دهد به ازای هر پنج نقطه با وضعیت موقعیت عمومی در صفحه یک چهارضلعی محدب خالی وجود دارد، همانطور که در تصویر نشان داده شده، و به ازای هر ده نقطه با شرایط فوق یک پنج‌ضلعی محدب خالی وجود دارد.[۷] اگرچه مجموعه‌های بزرگ و دلخواهی از نقاط با موقعیت عمومی ممکن است وجود داشته باشند که هیچ هفت‌ضلعی خالی برای آن‌ها یافت نشود.[۸]
برای مدت طولانی این سوال که آیا شش‌ضلعی خالی وجود دارد یا نه، بدون پاسخ ماند، ولی نیکولاس (۲۰۰۷) و گرکن (۲۰۰۸) ثابت کردند که به ازای هر مجموعه‌ی کافی از نقاط با موقعیت عمومی در صفحه یک شش‌ضلعی محدب خالی وجود دارد. بصورت خاص، گرکن نشان داد که تعداد نقاط مورد نیاز بیشتر از (f نیست. (f در بالا تعریف شده) درحالیکه نیکولاس نشان داد این مقدار حداکثر به اندازه‌ی (f(۲۵ است. (Valtr(۲۰۰۶ اثبات گرکن را ساده می‌کند و نشان می‌دهد که به نقاط بیشتری از (f، یعنی به اندازه‌ی (f(۱۵ که برابر ۳۰ نقطه می‌شود، نیاز داریم، چرا که یک مجموعه از ۲۹ نقطه در موقعیت عمومی در صفحه وجود دارد که برای آن شش‌ضلعی محدب خالی وجود ندارد. [۹]

مسائل مرتبط[ویرایش]

مسئله‌ی پیدا کردن مجموعه‌عای شامل n نقطه به طوری که تعداد چندضلعی‌های محدب را کمینه کند، مشابه کمینه‌کردن تعداد عبور در یک ترسیمِ خطِ مستقیمِ یک گراف کامل است. تعداد چندضلعی‌ها باید متناسب با توان چهارم n باشد، اما مقدار ثابت دقیقی، مشخص نیست.[۱۰] به طور سرراست می‌توان نشان داد که در فضای اقلیدسی با ابعاد بالاتر، مجموعه‌های به اندازه‌ی کافی بزرگ از نقاط، یک زیرمجموعه از k نقطه خواهند داشت که رأس‌های یک چندبر محدب را تشکیل می‌دهند، برای هر k بزرگ‌تر از بُعد: این مسئله خیلی سریع از موجود بودن k-ضلعی محدب در مجموعه‌های نقاط مسطح به اندازه‌ی کافی بزرگ پیروی می‌کند، به این صورت که مجموعه نقاط با ابعاد بالاتر را در یک شبه فضای دوبعدی اختیاری طراحی می‌کند. اما تعداد نقاط لازم برای پیداکردن K نقطه در حالت محدب ممکن است در ابعاد بالاتر نسبت به حالتی که در صفحه است، کم‌تر باشد، و همچنین پیدا کردن زیرمجموعه‌هایی که محدودتر هستند، امکان‌پذیر است. به طور مشخص، در d بعد، هر d + ۳ نقطه در موقعیت عمومی، یک زیرمجموعه از d + ۲ نقطه دارد که رئوس یک چندبر چرخه‌ای [۱۱] را تشکیل می‌دهند. در حالت کلی‌تر، برای هر d و k> d، عدد (m(d, k وجود دارد به گونه‌ای که هر مجموعه از (m(d, k نقطه در موقعیت عمومی یک زیر مجموعه از k نقطه خواهد داشت که رئوس یک چندبر همسایگی [۱۲] را تشکیل می‌دهد.

نکات[ویرایش]

  1. در این متن، موقعیت عمومی به این معناست که هیچ سه نقطه‌ای روی یک خط نیستند و هیچ دو نقطه‌ای روی هم قرار ندارند. مسئله‌ی اصلی این بود که توسط Esther Klein اثبات شد.
  2. مسئله‌ی اصلی این بود که توسط Esther Klein اثبات شد.
  3. طبق مقاله‌ی اردوش-سیکریس (1935) این مسئله ابتدا توسط E.Makai ثابت شده و اولین بار در (Kalbfleisch, Kalbfleisch & Stanton (1970 چاپ شده است.
  4. این مسئله توسط (Erdos – Peters(2006 اثبات شده است، آن‌ها یک برنامه‌ی کامپیوتری طراحی کردند که تمام حالاتی که برای 17 نقطه شش‌ضلعی محدب خالی وجود نداشت را حذف کند، البته تعداد حالات معدودی از شکل‌ها را بررسی کردند.
  5. (Erdos – Szekeres(1961
  6. (Toth – Valtr(2005، برای اطلاعات بیشتر راجع به علامت‌های استفاده شده در این بخش به مقاله‌ی binomial coefficient و نماد O بزرگ و برای اطلاعات جانبی بیشتر به اعداد کاتالان و Stirling’s approximation مراجعه کنید.
  7. (Harborth(1978
  8. (Horton(1983
  9. (Overmars(2003
  10. (Scheinerman & Wilf(1994
  11. (Grunbaum(2003، صفحه‌ی 120، مثال 6.5.6 – این نتیجه را به یک ارتباط خصوصی با Micha.A.Perles نسبت می‌دهد.
  12. (Grunbaum(2003، صفحه‌ی 126، مثال 7.3.6 – این نتیجه به دنبال اثبات تئوریک رمزی می‌اید که مشابه اثبات نتیجه برای حالت k = d + 2 توسط Szekeres و Perles است.

منابع[ویرایش]

  • Chung, F.R.K.; Graham, R.L. (۱۹۹۸), "Forced convex n-gons in the plane", Discrete and Computational Geometry ۱۹ (۳): ۳۶۷–۳۷۱, doi:10.1007/PL00009353  Unknown parameter |author۱-link= ignored (help); Unknown parameter |author۲-link= ignored (help); .
  • Erdős, P.; Szekeres, G. (۱۹۳۵), "A combinatorial problem in geometry", Compositio Math ۲: ۴۶۳–۴۷۰  Unknown parameter |author۱-link= ignored (help); Unknown parameter |author۲-link= ignored (help); .
  • Erdős, P.; Szekeres, G. (۱۹۶۱), "On some extremum problems in elementary geometry", Ann. Univ. Sci. Budapest. Eötvös Sect. Math. ۳–۴: ۵۳–۶۲  Unknown parameter |author۱-link= ignored (help); Unknown parameter |author۲-link= ignored (help); . Reprinted in: Erdős, P. (۱۹۷۳), Spencer, J., ed., The Art of Counting: Selected Writings, Cambridge, MA: MIT Press, pp. ۶۸۰–۶۸۹  .
  • Gerken, Tobias (۲۰۰۸), "Empty convex hexagons in planar point sets", Discrete and Computational Geometry ۳۹ (۱–۳): ۲۳۹–۲۷۲, doi:10.1007/s00454-007-9018-x  .
  • Grünbaum, Branko (۲۰۰۳), Convex Polytopes, Graduate Texts in Mathematics 221 (۲nd ed.), اشپرینگر ساینس+بیزینس مدیا, ISBN 0-387-00424-6  Unknown parameter |editor۲-link= ignored (help); Unknown parameter |editor۲-first= ignored (help); Unknown parameter |editor۱-last= ignored (help); Unknown parameter |editor۳-last= ignored (help); Unknown parameter |editor۳-first= ignored (help); Unknown parameter |editor۲-last= ignored (help); Unknown parameter |editor۱-first= ignored (help); Unknown parameter |editor۳-link= ignored (help); .
  • Harborth, Heiko (۱۹۷۸), "Konvexe Fünfecke in ebenen Punktmengen", Elem. Math. ۳۳ (۵): ۱۱۶–۱۱۸  .
  • Horton, J. D. (۱۹۸۳), "Sets with no empty convex ۷-gons", Canadian Mathematical Bulletin ۲۶ (۴): ۴۸۲–۴۸۴, doi:10.4153/CMB-1983-077-8  .
  • Kalbfleisch, J.D.; Kalbfleisch, J.G.; Stanton, R.G. (۱۹۷۰), "A combinatorial problem on convex regions", Proc. Louisiana Conf. Combinatorics, Graph Theory and Computing, Congressus Numerantium ۱, Baton Rouge, La.: Louisiana State Univ., pp. ۱۸۰–۱۸۸  .
  • Kleitman, D.J.; Pachter, L. (۱۹۹۸), "Finding convex sets among points in the plane", Discrete and Computational Geometry ۱۹ (۳): ۴۰۵–۴۱۰, doi:10.1007/PL00009358  Unknown parameter |author۱-link= ignored (help); .
  • Morris, W.; Soltan, V. (۲۰۰۰), "The Erdős-Szekeres problem on points in convex position—A survey", Bulletin of the American Mathematical Society ۳۷ (۰۴): ۴۳۷–۴۵۸, doi:10.1090/S0273-0979-00-00877-6  .
  • Nicolás, Carlos M. (۲۰۰۷), "The empty hexagon theorem", Discrete and Computational Geometry ۳۸ (۲): ۳۸۹–۳۹۷, doi:10.1007/s00454-007-1343-6  .
  • Overmars, M. (۲۰۰۳), "Finding sets of points without empty convex ۶-gons", Discrete and Computational Geometry ۲۹ (۱): ۱۵۳–۱۵۸, doi:10.1007/s00454-002-2829-x  .
  • Peterson, Ivars (۲۰۰۰), "Planes of Budapest", MAA Online  .
  • Scheinerman, Edward R.; Wilf, Herbert S. (۱۹۹۴), "The rectilinear crossing number of a complete graph and Sylvester's "four point problem" of geometric probability", American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 101 (۱۰): ۹۳۹–۹۴۳, doi:10.2307/2975158, JSTOR ۲۹۷۵۱۵۸  Unknown parameter |author۱-link= ignored (help); Unknown parameter |author۲-link= ignored (help); .
  • Szekeres, G.; Peters, L. (۲۰۰۶), "Computer solution to the ۱۷-point Erdős-Szekeres problem", ANZIAM Journal ۴۸ (۰۲): ۱۵۱–۱۶۴, doi:10.1017/S144618110000300X  Unknown parameter |author۱-link= ignored (help); .
  • Tóth, G.; Valtr, P. (۱۹۹۸), "Note on the Erdős-Szekeres theorem", Discrete and Computational Geometry ۱۹ (۳): ۴۵۷–۴۵۹, doi:10.1007/PL00009363  .
  • Tóth, G.; Valtr, P. (۲۰۰۵), "The Erdős-Szekeres theorem: upper bounds and related results", Combinatorial and computational geometry, Mathematical Sciences Research Institute Publications, no. ۵۲, pp. ۵۵۷–۵۶۸  .
  • Valtr, P. (۲۰۰۶), On the empty hexagons  .

پیوند به بیرون[ویرایش]