مسأله دو جسم

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
دو جسم با جرم یکسان که به دور مرکز جرم خود در یک مدار بیضوی دوران می‌کنند.

مسأله دو جسم یا مسأله دو جرم، (به انگلیسی: Two-Body Problem) در مکانیک کلاسیک، در مورد تعیین حرکت دو جسم نقطه‌ای است که تنها با یکدیگر فعل و انفعال دارند. مثال‌های متداول، شامل حرکت یک ماهواره به دور یک سیاره، حرکت یک سیاره به دور یک ستاره، حرکت دو ستاره به دور یکدیگر (ستاره دوتایی) و بررسی کلاسیک حرکت الکترون به دور هسته اتم است.

مسأله دو جسم می‌تواند با فرمول‌بندی مجدد، به دو مسأله تک‌جسم مستقل تبدیل شده و حل شود. برخلاف این موضوع، مسأله سه جسم (و در حالت کلی‌تر، مسأله n جسم برای n ≥ ۳) جز در موارد استثنای محدود، قابل تفکیک و حل صریح نیست.

Orbit1.gif
دو جسم با جرم یکسان که به دور مرکز جرم مشترک خود دوران می‌کنند (مشابه سیارک ۹۰)
Orbit2.gif
دو جسم با اختلاف جرم جزئی که به دور باری‌سنتر خود دوران می‌کنند. اندازه و نوع خاص این مدار شبیه مدار پلوتو و شارون است.
Orbit3.gif
دو جسم با اختلاف جرم زیاد که به دور مرکز جرم مشترکشان که داخل جرم سنگین‌تر قرار گرفته دوران می‌کنند (مشابه زمین و ماه)
Orbit4.gif
دو جسم با اختلاف جرم بسیار زیاد که به دور مرکز جرم مشترکشان (که داخل جرم سنگین‌تر و نزدیک به مرکز آن قرار گرفته) دوران می‌کنند (مشابه خورشید و زمین)

ساده‌شدن به دو مسأله تک جسم مستقل[ویرایش]

مختصات جاکوبی برای مسأله دو جسم؛ مختصه‌های جاکوبی \boldsymbol{R}=\frac {m_1}{M} \boldsymbol{x}_1 + \frac {m_2}{M} \boldsymbol{x}_2 و \boldsymbol{r} = \boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{x}_2 با M = m_1+m_2 \ هستند.[۱]

اگر x_1 و x_2 مکان دو جسم و m_1 و m_2 جرم آنها باشد، هدف مسأله دو جسم تعیین مسیر x_1(t) و x_2(t) با داشتن مکان اولیه x_1(t=0) و x_2(t=0) و سرعت اولیه v_1(t=0) و v_2(t=0) است.

با اعمال قانون دوم نیوتن برای این دو جسم، روابط زیر بدست می‌آید:


\mathbf{F}_{12}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{1} \ddot{\mathbf{x}}_{1} \quad \quad \quad (\mathrm{Equation} \  1)

\mathbf{F}_{21}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{2} \ddot{\mathbf{x}}_{2} \quad \quad \quad (\mathrm{Equation} \  2)

که F_{12} نیروی واردشده از طرف جسم ۲ به جسم ۱ و F_{21} نیروی واردشده از طرف جسم ۱ به جسم ۲ است. اضافه‌کردن و کم‌کردن این دو رابطه از یکدیگر، مسأله را به دو مسألهٔ تک جسم تبدیل می‌کند. اضافه‌کردن این دو رابطه، منجر به رابطه‌ای می‌شود که حرکت مرکز جرم (باری‌سنتر) را تعیین می‌کند. در مقابل، کم‌کردن رابطهٔ (۲) از رابطهٔ (۱)، منجر به رابطه‌ای می‌شود که نشان می‌دهد بردار r=x_1-x_2 بین دو جسم، چگونه با زمان تغییر می‌کند.

حرکت مرکز جرم (مسألهٔ تک‌جسم نخست)[ویرایش]

اضافه‌کردن دو رابطه (۱) و (۲) و استفاده از قانون سوم نیوتن (F_{12}= - F_{21}) نتیجه می‌دهد:


m_{1}\ddot{\mathbf{x}}_1 + m_2 \ddot{\mathbf{x}}_2 = (m_1 + m_2)\ddot{\mathbf{R}}  = \mathbf{F}_{12} + \mathbf{F}_{21} = 0

که R بردار مکان مرکز جرم سامانه دو جرم بوده و از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:


\ddot{\mathbf{R}}  \equiv \frac{m_{1}\ddot{\mathbf{x}}_{1} + m_{2}\ddot{\mathbf{x}}_{2}}{m_{1} + m_{2}}

بنابراین رابطهٔ زیر بدست می‌آید:


\ddot{\mathbf{R}}  = 0

که نشان می‌دهد که سرعت مرکز جرم (و در نتیجه تکانه کل) ثابت می‌ماند (قانون پایستگی تکانه). بنابراین با داشتن مکان‌ها و سرعت‌های اولیه، مکان مرکز جرم (R(t)) را می‌توان در هر لحظه تعیین کرد.

حرکت بردار جابجایی (مسألهٔ تک‌جسم دوم)[ویرایش]

با تقسیم هر رابطه بر جرم متناظر و کم‌کردن رابطهٔ دوم از اول، رابطهٔ زیر بدست می‌آید:


\ddot {\mathbf{r}} = \ddot{\mathbf{x}}_{1} - \ddot{\mathbf{x}}_{2} = 
\left(\frac{\mathbf{F}_{12}}{m_{1}} - \frac{\mathbf{F}_{21}}{m_{2}} \right) =
\left(\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}} \right)\mathbf{F}_{12}

که r بردار جابجایی از جرم ۲ به جرم ۱ است. نیروی بین دو جسم باید تنها تابع مکان نسبی آنها (r) بوده و نمی‌تواند تابع مکان مطلق آنها (x_1و x_2) باشد؛ زیرا در غیر این صورت، قوانین فیزیک از مکانی به مکان دیگر تغییر می‌کرد.

این رابطه می‌تواند به صورت زیر بازنویسی شود:


\mu \ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}_{12}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = \mathbf{F}(\mathbf{r})

که \mu جرم کاهش‌یافته نامیده می‌شود:


\mu = \frac{1}{\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_{2}}} = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}

با توجه به تعریف R و r، روابط زیر را می‌توان برای بردار مکان دو جسم نوشت:


\mathbf{x}_1(t) = 
\mathbf{R} (t) + \frac{m_2}{m_1 + m_2} \mathbf{r}(t)

\mathbf{x}_2(t) = 
\mathbf{R} (t) - \frac{m_{1}}{m_1 + m_2} \mathbf{r}(t)

جستارهای وابسته[ویرایش]

پانویس[ویرایش]

  1. David Betounes (2001). Differential Equations. Springer. p. 58; Figure 2.15. ISBN 0-387-95140-7.