مدل توماس-فرمی

مدل توماس-فرمی (به انگلیسی: Thomas–Fermi model)‏ نظریه‌ای در مکانیک کوانتومی برای بررسی آرایش الکترونی مواد در سیستم‌های چندپیکره است. این مدل اندکی پس از معادله شرودینگر پیشنهاد شد و هدفش شناسایی و بررسی چگالی الکترونی ماده بود و پدر نظریه تابع چگالی امروزی‌ست.

بر پایهٔ این مدل الکترون‌ها بطور همگون پخش شده‌اند بطوریکه در هر فضای سه‌بعدی $h^{3}$ دو الکترون باشنده‌است و پایهٔ تکانه فرمی $p_f$ می‌توان در مختصات $d^{3}r$ می‌توان کره‌ای از تکانه را در نظر داشت:

$(4/3)\pi p_f^3(\vec{r}).\$

اکنون با درنظرگیری دو الکترون در فضای $d^{3}r$ داریم:

$n(\vec{r})=\frac{8\pi}{3h^3}p_f^3(\vec{r}).\$

با حل این معادله برای $p_f$ و سپس جایگذاری در معادله انرژی جنبشی، می‌توان تابع برداری چگالی الکترون را بدست آورد:

$t_{TF}[n] = \frac{p^2}{2m_e} \propto \frac{(n^{1/3})^2}{2m_e} \propto n^{2/3}(\vec{r})\$

$T_{TF}[n]= C_F \int n(\vec{r}) n^{2/3}(\vec{r}) d^3r =C_F\int n^{5/3}(\vec{r}) d^3r\$

که در آن:

$C_F=\frac{3h^2}{10m_e}\left(\frac{3}{8\pi}\right)^{2/3}.\$$C_F=\frac{3h^2}{10m_e}\left(\frac{3}{8\pi}\right)^{2/3}.\$

اکنون، از آنجا که کنش الکترون-الکترون و الکترون-هسته وابسته به چگالی الکترونی هستند، می‌توان انرژی اتم را با بکاربردن تابع برداری انرژی جنبشی بدست آورد.

محدودیت این روش در اینست که تابع برداری انرژی جنبشی تنخمینی‌ست و انرژی تبادلی در آن نادیده گرفته‌شده‌است. همچنین این مدل توانایی توضیح پیوندهای مولکولی را نداشت و ازینرو تابع برداری انرژی جنبشی تصحیح‌شده بدینگونه معرفی‌شد:

$T_W[n]=\frac{1}{8}\frac{\hbar^2}{m}\int\frac{|\nabla n(\vec{r})|^2}{n(\vec{r})}dr.\$

جستارهای وابسته

• نظریه تابع چگالی

منابع

ویکی‌پدیای انگلیسی