مدل بردارهای خودبرگشتی

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

بردارهای خود برگشتی یکی از مدل‌های اقتصادسنجی است که برای کنترل کردن همبستگی‌های بینابینی در میان چند سری زمانی استفاده می‌شود و در واقع تعمیمی از مدل‌های خودرگرسیونی است. تمامی متغیرها در مدل برداهای خود برگشتی به صورت نظام مند توسط متغیرهای دوران گذشته خود و دیگر عناصر مدل در یک معادله تعریف می‌شوند. بر این اساس Christopher Sims، از مدل بردارهای خودبرگشتی به عنوان روشی فارغ از تئوری دفاع می‌کنند . [۱].

تعریف[ویرایش]

یک مدل بردارهای خودبرگشتی به دنبال توضیح رویهٔ تکاملی یک مجموعه k متغیره (که به آنها متغیرهای درون زا گفته می‌شود) در دورهٔ آماری یکسان و با استفاده از تابع خطی تنها از مقادیر قبلی شان می‌باشد. متغیرها در یک بردار k × ۱ بعدی به نام yt جمع می‌شوند که عنصر ith آن yi،t است، عنصر مشاهده شده در دورهٔ t از متغیر yi. یک مدل کاهشی از مرتبهٔ p بردارهای خودبرگشتی که با VAR(p) نمایش داده می‌شود به شکل زیر است،

 :y_t = c + A_1 y_{t-1} + A_2 y_{t-2} + \cdots + A_p y_{t-p} + e_t,

جاییکه c یک بردار  × ۱ از مقادیر ثابت، Ai یک ماتریس k × k، و et یک بردار  × ۱ از عناصر خطا می‌باشد که در خصوصیات زیر صدق می‌کنند،

  1. \mathrm{E}(e_{t}) = 0\,
  2. \mathrm{E}(e_{t}e_{t}') = \Omega\,
  3. \mathrm{E}(e_{t}e_{t-k}') = 0\,

مشاهدهٔ l دوره قبل yt−l l امین تاخیر y می‌شود. در نتیجه به مدل بردارهای خودبرگشتی مرتبهٔ p مدل بردارهای خودبرگشتی با p تاخیر نیز گفته می‌شود.

مرتبهٔ تجمیع متغیرها[ویرایش]

باید دقت کرد که تمامی متیرها باید مرتبهٔ تجمیع یکسانی داشته باشند. در این صورت ما موارد پایین را خواهیم داشت:

نمایش ماتریسی[ویرایش]

مدل بردارهای خودبرگشتی از مرتبهٔ p را می‌توان بطور خلاصه با ماتریس‌ها به شکل زیر نمایش داد:

 Y=BZ +U \,

مثال[ویرایش]

یک مدل بردارهای خودبرگشتی از مرتبهٔ ۱ را می‌توان به فرم ماتریسی زیر نوشت:

\begin{bmatrix}y_{1,t} \\ y_{2,t}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c_{1} \\ c_{2}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}A_{1,1}&A_{1,2} \\ A_{2,1}&A_{2,2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_{1,t-1} \\ y_{2,t-1}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}e_{1,t} \\ e_{2,t}\end{bmatrix},

و یا معادلا به صورت دستگاه دو معادلهٔ زیر:

y_{1,t} = c_{1} + A_{1,1}y_{1,t-1} + A_{1,2}y_{2,t-1} + e_{1,t}\,
y_{2,t} = c_{2} + A_{2,1}y_{1,t-1} + A_{2,2}y_{2,t-1} + e_{2,t}.\,

باید دقت کرد که برای هر متغر مدل یک معادله وجود دارد. همچنین سطح یک متغر در دورهٔ t به تاخیرهای خود و دیگر متغیرهای مدل مرتبط است.

نوشتن VAR(p) به فرم VAR(1)[ویرایش]

یک مدل داده‌های خودبرگشتی از مرتبهٔ p همیشه می‌تواند با دوباره جایگذاری متغیر وابسته به مرتبهٔ ۱ تبدیل شود. برای مثال، مدل VAR(2)

y_{t}=c + A_{1}y_{t-1} + A_{2}y_{t-2} + e_{t}

را می‌توان به فرم زیر از VAR(1) نوشت.

\begin{bmatrix}y_{t} \\ y_{t-1}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c \\ 0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}A_{1}&A_{2} \\ I&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_{t-1} \\ y_{t-2}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}e_{t} \\ 0\end{bmatrix},

جایی که I ماتریس واحد است. مدلVAR(1) بدست آمده برای تحلیل راحت تر است.

منابع و مراجع[ویرایش]

  1. Christopher A. Sims, 1980, "Macroeconomics and Reality", Econometrica 48