مجموعه کراندار

تجسمی از یک مجموعه کراندار (بالا) و یک مجموعه بی‌کران (پایین) که از سمت راست تا بی‌نهایت ادامه دارد.

مجموعه کراندار یا مجموعه محدود مفهومی است که در آنالیز ریاضی و دیگر مباحث مرتبط با آن تعریف می‌شود. مجموعه‌ای که کراندار نباشد را بی‌کران می‌نامیم. در توپولوژی، مجموعه کراندار فقط در فضاهای توپولوژیک متری معنا می‌یابد.

تعریف

در اعداد حقیقی

فرض کنید $A$ یک زیرمجموعهٔ ناتهی از $\mathbb{R}$ باشد. گوییم $A$ از بالا کراندار است اگر عددی مانند $a$ موجود باشد به طوری که به ازای هر $x$ از $A$ داشته باشیم $x\le a$. اگر عددی مانند $b$ موجود باشد به طوری که به ازای هر $y$ از $A$ داشته باشیم $b\le y$، آنگاه می‌گوییم $A$ از پایین کراندار است. مجموعهٔ $A$ را کراندار می‌نامیم در صورتی که $A$ از بالا و از پایین کراندار باشد.

همچنین هر زیر مجموعه از اعداد حقیقی کراندار است اگر و تنها اگر مشمول در یک بازه در $\mathbb{R}$ باشد.

در فضاهای متری

فرض کنیم $(X,d)$ یک فضای متری و $E\subseteq X$ باشد. در اینصورت گوییم $E$ کراندار است هرگاه عددی حقیقی چون $M$ و نقطه‌ای مثل $q\in X$ وجود داشته باشند به‌طوری که به ازای هر $p\in E$ داشته باشیم $d(p,q)<M$.

در فضای متری دلخواه $(M,d)$، زیرمجموعهٔ $A$ از $M$ فقط و فقط وقتی کراندار است که گوی بازی شامل $A$ موجود باشد.

منابع

• مدقالچی، علیرضا. آنالیز ریاضی ۱. چاپ نهم. تهران: دانشگاه پیام نور، ۱۳۸۸. شابک ‎۹۷۸-۹۶۴-۴۵۵-۹۲۳-۵. 
• رودین، والتر. اصول آنالیز ریاضی. ترجمهٔ دکتر علی‌اکبر عالم‌زاده. چاپ بیستم. تهران: انتشارات علمی و فنی، ۱۳۸۵. شابک ‎۹۶۴-۶۲۱۵-۰۰-۹.