مجموعه کراندار

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو
تجسمی از یک مجموعه کراندار (بالا) و یک مجموعه بی‌کران (پایین) که از سمت راست تا بی‌نهایت ادامه دارد.

مجموعه کراندار یا مجموعه محدود مفهومی است که در آنالیز ریاضی و دیگر مباحث مرتبط با آن تعریف می‌شود. مجموعه‌ای که کراندار نباشد را بی‌کران می‌نامیم. در توپولوژی، مجموعه کراندار فقط در فضاهای توپولوژیک متری معنا می‌یابد.

تعریف[ویرایش]

در اعداد حقیقی[ویرایش]

فرض کنید A یک زیرمجموعهٔ ناتهی از  \mathbb{R} باشد. گوییم A از بالا کراندار است اگر عددی مانند a موجود باشد به طوری که به ازای هر x از A داشته باشیم x\le a. اگر عددی مانند b موجود باشد به طوری که به ازای هر y از A داشته باشیم b\le y، آنگاه می‌گوییم A از پایین کراندار است. مجموعهٔ A را کراندار می‌نامیم در صورتی که A از بالا و از پایین کراندار باشد.[۱]

همچنین هر زیر مجموعه از اعداد حقیقی کراندار است اگر و تنها اگر مشمول در یک بازه در  \mathbb{R} باشد.

در فضاهای متری[ویرایش]

فرض کنیم (X,d) یک فضای متری و E\subseteq X باشد. در اینصورت گوییم E کراندار است هرگاه عددی حقیقی چون M و نقطه‌ای مثل q\in X وجود داشته باشند به‌طوری که به ازای هر p\in E داشته باشیم d(p,q)<M. [۲]

در فضای متری دلخواه (M,d)، زیرمجموعهٔ A از M فقط و فقط وقتی کراندار است که گوی بازی شامل A موجود باشد.[۳]

پانویس[ویرایش]

منابع[ویرایش]