مثلث بزیه

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

مثلث بزیر نوع خاصی از منحنی بزیر است که از درونیابی (خطی، درجه دو، مکعبی یا درجات بالاتر) نقاط کنترلی بدست می‌آید.

مثلث مکعبی بزیر[ویرایش]

نمونه مثل بزیر با نقاط کنترلی مشخص شده

یک مثلث بزیر مکعبی سطحی با معادله زیر است:

\begin{align}
p(s, t, u) = (\alpha s+\beta t+\gamma u)^3 =&
\beta^3\ t^3 + 3\ \alpha\beta^2\ st^2 + 3\ \beta^2\gamma\ t^2 u + \\
&3\ \alpha^2\beta\ s^2 t + 6\ \alpha\beta\gamma\ stu + 3\ \beta\gamma^2\ tu^2 + \\
&\alpha^3\ s^3+ 3\ \alpha^2\gamma\ s^2 u + 3\ \alpha\gamma^2\ su^2 + \gamma^3\ u^3
\end{align}

که در آن α3، β3، γ3، α2β، αβ2، β2γ، βγ2، αγ2، α2γ و αβγ نقاط کنترلی مثلث و s، t، u (با 0 ≤ s، t، u ≤ 1 و s+t+u=1) مراکز جرم داخل مثلث هستند.[۱]

نصف کردن مثلث بزیر مکعبی[ویرایش]

مزیت مثلث بزیر در گرافیک کامپیوتری تقریب راحت آنها توسط مثلث‌های منظم است.

عبارت زیر نقاط کنترلی جدید را برای نصف مثلث بزیر کامل با گوشه α3، یک گشوه در میان منحنی بزیر α3 و β3 و گوشه سوم در γ3 است.


\begin{pmatrix}
\boldsymbol{\alpha^3}'\\
\boldsymbol{\alpha^2\beta}'\\
\boldsymbol{\alpha\beta^2}'\\
\boldsymbol{\beta^3}'\\
\boldsymbol{\alpha^2\gamma}'\\
\boldsymbol{\alpha\beta\gamma}'\\
\boldsymbol{\beta^2\gamma}'\\
\boldsymbol{\alpha\gamma^2}'\\
\boldsymbol{\beta\gamma^2}'\\
\boldsymbol{\gamma^3}'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\
{1\over 2}&{1\over 2}&0&0&0&0&0&0&0&0\\
{1\over 4}&{2\over 4}&{1\over 4}&0&0&0&0&0&0&0\\
{1\over 8}&{3\over 8}&{3\over 8}&{1\over 8}&0&0&0&0&0&0\\
0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\
0&0&0&0&{1\over 2}&{1\over 2}&0&0&0&0\\
0&0&0&0&{1\over 4}&{2\over 4}&{1\over 4}&0&0&0\\
0&0&0&0&0&0&0&1&0&0\\
0&0&0&0&0&0&0&{1\over 2}&{1\over 2}&0\\
0&0&0&0&0&0&0&0&0&1
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
\boldsymbol{\alpha^3}\\
\boldsymbol{\alpha^2\beta}\\
\boldsymbol{\alpha\beta^2}\\
\boldsymbol{\beta^3}\\
\boldsymbol{\alpha^2\gamma}\\
\boldsymbol{\alpha\beta\gamma}\\
\boldsymbol{\beta^2\gamma}\\
\boldsymbol{\alpha\gamma^2}\\
\boldsymbol{\beta\gamma^2}\\
\boldsymbol{\gamma^3}
\end{pmatrix}
به طور برابر تنها با استفاده از جمع و تقسیم به دو
        β3 := (αβ2 + β3)/2
    αβ2 := (α2β + αβ2)/2   β3 := (αβ2 + β3)/2
α2β := (α3 + α2β)/2   αβ2 := (α2β + αβ2)/2   β3 := (αβ2 + β3)/2
    β2γ := (αβγ + β2γ)/2
αβγ := (α2γ + αβγ)/2   β2γ:=(αβγ+β2γ)/2
βγ2 := (αγ2 + βγ2)/2

منابع[ویرایش]

  1. مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Bézier triangle»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد (بازیابی در ۲۷ نوامبر ۲۰۱۲).