فضای متری

در ریاضیات فضای متری یا فضای متریک به مجموعه‌ای گفته می‌شود که مفهومی از نوع فاصله (distance) (موسوم به متری) مابین اعضاء آن تعریف شده باشد.

محتویات

۱ انگیزه‌ها
۲ توپولوژی یک فضای متری
۳ مثال
۴ جستارهای وابسته
۵ منابع

انگیزه‌ها [ویرایش]

از جملهٔ کارآترین ابزار و شیوه‌های گسترش و پیشرفت در ریاضیات (و در بسیاری از میدان‌ها و زمینه‌های دیگر حیات انسانی) تجرید، و از آن هم مهم‌تر، تعمیم است.

فضای متری یکی از مفاهیم مهم توپولوژی و آنالیز ریاضی است.

زوج مرتب $(X,d) \,$ را که در آن X مجموعه‌ای از نقاط و d یک تابع حقیقی $d\colon \mathbb{X} \times \mathbb{X} \to \mathbb{R}$ می‌باشد یک فضای متریک گویند هرگاه:

۱. $d(p,q) \geq 0$ (فاصله هیچ گاه منفی نمی‌تواند باشد)

۲. $d(p,q) = 0 \iff p=q$ (فاصله صفر است اگر و تنها اگر هر دو شیء یکی باشند)

۳. $d(q,p) = d(p,q) \,$ (بدون بستگی داشتن به مقادیر p،q همواره دارای خاصیت تقارنی است)

۴. $d(p,q) + d(q,r) \geq d(p,r)$ (نامساوی مثلث یا قضیهٔ حمار)

این خاصیت‌ها به طور شهودی مفهوم فاصله را بیان می‌کند. مثلاً فاصله بین دو نقطه همیشه مقداری مثبت است و یا فاصله بین دو نقطه p و q برابر با فاصله q تا p است. همچنین بر اساس نامساوی مثلث، مسیر مستقیم p تا q کوتاهتر از مسیری است که از p به r و سپس از r به q طی می‌کنیم.

توجه کنید که هر فضای متری یک فضای توپولوژیک نیز هست.

توپولوژی یک فضای متری [ویرایش]

فرض کنیم $(X,d) \,$ یک فضای متری باشد. یک زیر مجموعهٔ $V \subset X$ را باز گوییم هرگاه به ازای هر نقطه $x \in V$ عددی مانند $\varepsilon > 0$ وجود داشته باشد به گونه‌ای که گوی به مرکز x و شعاع $\varepsilon$ ، یعنی : $K_{\varepsilon}(X) := \{y \in X\; | \; d(x,y) < \varepsilon \}$ نیز مشمول V باشد. مجموعهٔ توپولوژیک d متشکل از همهٔ مجموعه‌های باز X را توپولوژی فضای متری $(X,d) \,$ می‌نامند.

مثال [ویرایش]

روی یک فضا مترهای مختلفی می‌توان تعریف کرد مثلاً $\mathbb{R}$ (مجموعه اعداد حقیقی) با تابع فاصله $d(x,y)=|x-y| \,$ (به طوریکه $x$ و $y$ عضو $X$ ) یک فضای متری ست. به طور کلی فضای اقلیدسی $\mathbb{R}^n$ با متر $d(x,y)=\Vert x-y \Vert$ فضای متری ست. این متر را متر معمولی روی $\mathbb{R}^n$ می‌نامیم.