مانده در بینهایت

در آنالیز مختلط، مانده در بی‌نهایت برابر با ماندهٔ یک تابع تحلیلی مختلط روی یک حلقه با شعاع خارجی بی‌نهایت است. بی‌نهایت ($\infty$) به فضای اعداد مختلط $\mathbb {C}$ اضافه می‌شود تا این فضا را فشرده کند. این فضای جدید ${\hat {\mathbb {C} }}$ با کره ریمان یک‌ریخت است. مانده در بی‌نهایت می‌تواند به محاسبه برخی از انتگرال‌ها و سری‌ها کمک کند.

تعریف

با فرض داشتن تابع f که روی حلقه به مرکز $z=0$ و شعاع داخلی $R$ و شعاع خارجی بی‌نهایت هولومورفیک است، مانده در بی‌نهایت با استفاده از مفهوم معمول مانده چنین تعریف می‌شود:

$\mathrm {Res} (f,\infty )=\mathrm {Res} \left({-1 \over z^{2}}f\left({1 \over z}\right),0\right)$

جستارهای وابسته

• قضیه مانده
• کره ریمان

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Residue at infinity». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۶ ژانویهٔ ۲۰۱۵.