قضیه کوشی

هرگاه f و g دو تابع باشند که در بازه بسته[a,b] پیوسته و در (a,b) مشتق‌پذیر باشند و $g^\prime (x)$ به ازائ هر x عضو (a,b) ناصفر باشد، آنگاه نقطه‌ای چون (c∈(a,b هست که:

$\frac{f^\prime(c)}{g^\prime(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

اثبات

ابتدا تابع h را به شکل زیر تعریف می‌کنیم که تمام خواص تابع f را نیز دارد : ‎h(x)=f(x)-k g(x)‎

حال اگر k را برابر $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ فرض کنیم خواهیم داشت :

$h(a)=\frac{f(a)g(b)-f(a)g(a)-f(b)g(a)+f(a)g(a)}{g(b)-g(a)}$

$h(b)=\frac{f(b)g(b)-f(b)g(a)-f(b)g(b)+f(a)g(b)}{g(b)-g(a)}$

پس $h(a)=h(b)$ که بر طبق قضیه رول وجود دارد c متعلق به بازه (a,b) که $h^\prime(c)=0$؛ پس :

$f^\prime(c)=k g^\prime(c)\Rightarrow \ \frac{f^\prime(c)}{g^\prime(c)}=k$

که با قرار دادن مقدار k داریم :

$\frac{f^\prime(c)}{g^\prime(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

منبع

• حساب دیفرانسیل و انتگرال ( جلد اول )، دکتر مسعود نیکوکار و بهمن عرب زاده، انتشارات آزاده ، 1384 ، ISBN 964-8020-47-7