قضیه ویلسون

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

قضیه ویلسون (به انگلیسی: Wilson's theorem) قضیه‌ای در نظریه اعداد است که توسط ریاضیدان انگلیسی جان ویلسون مطرح شده است. این قضیه بیان می‌کند به ازای هر عدد اول مانند \; p داریم \;(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}

تعمیم قضیه ویلسون[ویرایش]

۱_تعمیم گاوس:کارل فریدریش گاوس ریاضیدان آلمانی در سال ۱۸۰۰ میلادی ثابت کرده که برای هر عدد طبیعی m>۲ عدد اول p


\prod_{k = 1 \atop \gcd(k,m)=1}^{m} \!\!k \ \equiv
\begin{cases}
-1      \pmod{m}  & \text{if } m=4,\;p^\alpha,\;2p^\alpha \\
\;\;\,1 \pmod{m}  & \text{otherwise}
\end{cases}

در اینجا \alpha عددی صحیح و مثبت است.

مثال[ویرایش]

(3-1)!=1 \times 2\ = 2 \equiv -1 \pmod{3}

(5-1)!=1 \times 2\times 3 \times 4 = 24 \equiv -1 \pmod{5}

(7-1)!=1 \times 2\times 3 \times 4\times 5\times 6 = 720 \equiv -1 \pmod{7}

(11-1)!=1 \times 2\times 3 \times 4\times 5\times 6\times 7\times 8 \times 9\times 10 = 3628800 \equiv -1 \pmod{11}

(13-1)!=1 \times 2\times 3 \times 4\times 5\times 6\times 7\times 8 \times 9\times 10\times 11\times 12 = 479001600 \equiv -1 \pmod{13}

اثبات[ویرایش]

برهان اول[ویرایش]

چون \; p اول است، پس به ازای هر عدد \; a که \;1\;<a\;<p-1 ،عدد منحصر به فرد \; b وجود دارد که a \times b \equiv 1 \pmod{p} و در ضمن a\not = b و \;1\;<b\;<p-1. پس می‌توان اعداد \; 2,3,...,p-2 را به زوج‌هایی افراز کرد که حاصلضرب دو عدد هر زوج(جفت) به پیمانه \;p برابر با \; 1 شود. پس

\; (p-1)! \equiv  1  \times \underbrace{2 \times 3 ... \times (p-2)}  \times (p-1) \equiv  1  \times \underbrace{1 \times 1 ... \times 1}  \times (p-1)  \equiv -1 \pmod{p}

منابع[ویرایش]

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا، «Wilson's theorem»، ویکی‌پدیای انگلیسی، دانشنامهٔ آزاد.