قضیه نقطه ثابت

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

در ریاضیات، قضیه نقطه ثابت یا تکرار ساده (به انگلیسی: Fixed-point theorem) نظریه‌ای است که می‌گوید به ازای هر تابع F حداقل یک نقطه ثابت وجود دارد. (یک نقطه x که F(x)=x)

روش حل معادلات[ویرایش]

طریقه استفاده از روش برای حل معالات:

۱- شکل معادله را به صورتf(x)=x در بیاوریم.

۲- عددی دلخواه را به جای x در f(x) قرار می‌دهیم. مثلاً k

۳- مقدار f(k) بدست آمده را دوباره به جای x در f(x) قرار می‌دهیم.

۴- عمل فوق را به طور نامنتاهی انجام می‌دهیم و به جواب نزدیک تر خواهیم شد.

مثال[ویرایش]

حل معادله x^x=2

مرحله اول:

x^x=2

در نتیجه

x= \sqrt[x]{2}

مرحله دوم: مقدار اولیه k=۴

x= \sqrt[4]{2}=1.892071500....

مرحله سوم: k=۱٫۸۹۲۰۷۱۵۰

x= \sqrt[1.89207150]{2}=1.44244994

مرحله چهارم: k=۱٫۴۴۲۴۴۹۹۴

x= \sqrt[1.44244994]{2}=1.616938

مرحله پنجم: k=۱٫۴۴۲۴۴۹۹۴

x= \sqrt[1.616938]{2}=1.53522

مرحله ششم: k=۱٫۵۳۵۲۲

x= \sqrt[1.53522]{2}=1.57006

پس جواب معاله تا یک رقم اعشار:

x=1.5...

با انجام عمل متوالی بالا به تقریب‌های دقیق تری از جواب خواهید رسید.

اثبات روش[ویرایش]

به مراحل حل معادله توجه کنید x=f(x)

x=f(f(x))

x=f(f(f(x)))

که دنباله زیر را تشکیل می‌دهند.

x,\ f(x),\ f(f(x)),\ f(f(f(x))), \dots

در صورتی که این دنباله واگرا نباشد و همگرا باشد به جواب می‌رسیم.

جستارهای وابسته[ویرایش]

منابع[ویرایش]

پیوند به بیرون[ویرایش]