قضیه مقدار میانگین برای انتگرال‌ها

بنابراین قضیه اگر تابع f بر بازهٔ [a,b] پیوسته باشد آنگاه مقداری مانند c وجود دارد که : $f(c)=1/(b-a) \int_{a}^{b} f(x)\, dx$

اثبات

با توجه به فرض قضیه، چون تابع f بر بازه [a,b] پیوسته است، مقدار مینیمم و ماکسیمم مطلق خود را (بر طبق قضیه اکسترمم) در این فاصله می‌گیرد، یعنی به ازای هر x در بازه [a,b] : $m \le \ f(x) \le \ M \Rightarrow \int_{a}^{b} m \,dx \le \int_{a}^{b} f(x) \,dx \le \int_{a}^{b} M \,dx$ $m(b-a) \le \int_{a}^{b} f(x) \,dx \le \ M(b-a) \Rightarrow \ m \le \ 1/(b-a) \int_{a}^{b} f(x) \,dx \le \ M$ حال اگر تابع f در این فاصله صعودی (نزولی) باشد آنگاه $x_0$ و $x_1$ در بازه $[a \le \ x_0 \le \ x_1 \le \ b]$ وجود دارد که به ازای آنها مقادیر تابع به ترتیب مینیمم و ماکسیمم (ماکسیمم و مینیمم) می‌شود. یعنی: $( 1/(b-a) \int_{a}^{b} f(x)\,dx - f(x_0) ) ( 1/(b-a) \int_{a}^{b} f(x) \,dx - f(x_1) ) < \ 0$ که بر طبق قضیه بولتزانو وجود دارد c در بازهٔ $[x_0,x_1]$ که: $f(c)=1/(b-a) \int_{a}^{b} f(x)\, dx$

منبع

• حساب دیفرانسیل و انتگرال ( جلد دوم )، نوشته دکتر مسعود نیکوکار و بهمن عرب زاده، انتشارات آزاده ، 1384