قضیه اف‌دبلیوال

از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد
پرش به: ناوبری، جستجو

قضیه FWL از کنار هم قرار دان حرف اول نامهای سه اقتصاددان به نام های Frederick V. Waugh، Ragnar Frisch و Michael C. Lovell نامگذاری شده است.

این قضیه در ارتباط با یکی از خصوصیات مفید تخمین زدن حداقل مربعات معمولی (OLS) می باشد، که در اقتصادسنجی دارای کاربردهای فراوان می باشد.

برای ارائه این قضیه مدل رگرسیون زیر را در نظر بگیرید:

(۱)  Y = X \beta + u \!

می توان ماتریس  X \! را به دو ماتریس  X_1 \! و  X_2 \! تفکیک کرد که در حالت کلی با هم متعامد نمی‌باشند، در این حالت رگرسیون (۱) را می توان به فرم زیر بازنویسی کرد:

(۲)  Y = X_1 \beta_1 + X_2 \beta_2 + u \!

که در آن  X_1 \! و  X_2 \! به ترتیب ماتریس هایی از مرتبه  n \times k_1 و  n \times k_2 می باشند.

با ضرب ماتریس  M_{X_1} در طرفین رگرسیون بالا ماتریس  X_1 \! حذف می شود چون:

 M_{X_1} = I - X_1(X_1'X_1)^{-1}X_1' \!

 M_{X_1}X_1 = (I - X_1(X_1'X_1)^{-1}X_1' \!)X_1 = X_1 - X_1(X_1'X_1)^{-1}X_1' \!X_1 = X_1 - X_1 = 0

آنگاه خواهیم داشت:

(۳)  M_{X_1} Y = M_{X_1} X_2 \beta_2 + M_{X_1} u \!

این رگرسیون، رگرسیون FWL نامیده شده است.

نتایج قضیه FWL[ویرایش]

۱.  \beta_2 \! تخمین زده شده در مدل (۳) با  \beta_2 \! تخمین زده شده برای مدل (۲) یکسان خواهد بود.

 {\hat\beta_2} =  (X_2'M_1'M_1X_2)^{-1} X_2'M_1'M_1Y = (X_2'M_1X_2)^{-1} X_2'M_1Y \!

۲. پسماندها نیز در دو مدل (۳) و (۲)یکسان می باشند.

نتیجه گیری: هرگاه در یک مدل اقتصادسنجی که شامل دو مجموعه متغیر توضیح دهنده مانند مدل (۲) باشد، که در آن ماتریس های  X_1 \! و  X_2 \! به گونه ای باشند که نسبت به هم متعامد باشند، حذف یکی از آنها در مدل تاثیری بر تخمین ضریب دیگری نخواهد گذاشت. بنابراین در حالت کلی اگر  X_1 \! و  X_2 \! نسبت به هم متعامد نباشند برای به دست آوردن یکی از ضرایب، می توان از قضیه FWL به شرح بالا استفاده کرد.

منابع[ویرایش]

  • ویکی‌پدیای انگلیسی
  • Davidson R.، MacKinnon J.G. Econometric theory and methods