حدس اردوش-استراوس

مسئله حل نشده در ریاضیات:

آیا به ازای هر عدد صحیح $n\geq 2$ معادلهٔ ${\tfrac {4}{n}}={\tfrac {1}{x}}+{\tfrac {1}{y}}+{\tfrac {1}{z}}$ پاسخ صحیح مثبتی دارد؟

(مسائل حل‌نشده بیشتر در ریاضیات)

در نظریه اعداد، حدس اردوش-استراوس بیان می‌کند که به ازای هر عدد صحیح $n\geq 2$ ، عدد گویای $4/n$ را می‌توان به صورت مجموع سه کسر واحد مثبت $1/x+1/y+1/z$ بیان کرد . پاول اردوش و ارنست جی استراوس این حدس را در سال 1948 تنظیم کردند. این یکی از حدس‌های پال اردوش است.

اگر $n$ عددی مرکب باشد، $n=pq$ ، آنگاه می‌توان پاسخ معادله برای $4/n$ را از روی پاسخ $4/p$ یا $4/q$ پیدا کرد؛ بنابراین، اگر مثال نقضی برای حدس اردوش-استراوس وجود داشته باشد، کوچکترین $n$ مثال نقض باید عددی اول باشد، و با نتیجه‌گیری بیشتر می‌توان آن را به یکی از شش مدول تصاعد حسابی نامتناهی عدد $840$ محدود کرد. تحقیق‌های رایانه ای نشان می‌دهد حدس بر روی اعداد تا $n\leq 10^{17}$ صادق است ، اما اثبات آن برای همهٔ $n$ ها همچنان یک مسئلهٔ حل نشده‌است.

مثبت بودن سه کسر واحد برای دشواری مسئله ضروری است، زیرا اگر مقادیر منفی مجاز بودند، مسئله برای همه حالت‌ها حل می‌شد.

حدس

به‌طور صوری تر، حدس بیان می‌کند که به ازای هر عدد صحیح $n\geq 2$ ، اعداد صحیح مثبت $x$، $y$ و $z$ وجود دارد به طوری که:

${\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}.$

به عنوان مثال، به ازای $n=5$ ، دو پاسخ وجود دارد:

${\frac {4}{5}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{10}}.$

بعضی از محققان شرط متمایز بودن این اعداد صحیح را نیز لازم می‌دانند، در حالی که برخی دیگر اجازه می‌دهند برابر باشند. برای $n\geq 3$ ، مهم نیست اعداد با هم متفاوت باشند: اگر یک راه حل برای هر سه عدد صحیح $x$ , $y$ و $z$ وجود داشته باشد، یک راه حل برای اعداد صحیح مجزا نیز وجود دارد. برای $n=2$ ، تنها راه حل ${\tfrac {4}{2}}={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{1}}$ ، است با در نظر گرفتن جایگشت جمع‌شونده‌ها. وقتی $x$ , $y$ و $z$ سه عدد متفاوت باشند، این کسرهای واحد کسر مصری عدد $4/n$ را نمایش می‌دهند.

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Erdős–Straus conjecture». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.

• Salez, Serge E. (2014), The Erdős-Straus conjecture New modular equations and checking up to $N=10^{17}$, arXiv:1406.6307, Bibcode:2014arXiv1406.6307S
• Rosati, Luigi Antonio (1954), "Sull'equazione diofantea $4/n=1/x_{1}+1/x_{2}+1/x_{3}$", Boll. Un. Mat. Ital. (3) (به ایتالیایی), 9: 59–63, MR 0060526.
• Arab, Mohammad (2021), WELL-DEFINED ERDOS-STRAUS EQUATIONS AND L.C.M </math>, arXiv:2108.02024, Bibcode:2021arXiv210802024A